Žížalí invariant
Průlom nastal, když si žížaly všimly, že ač se jejich souřadnice transformují podle podivných (a ne zcela přesných) vzorců, jistá algebraická kombinace souřadnic vychází stejně, nezávisle na tom, která žížala ji spočítala. Této kombinaci se začalo říkat žížalí invariant.
Invariant přiřazuje číslo dvěma bodům v žížalím světě, závisí na rozdílu souřadnic těchto bodů a míchá dohromady jak vertikální, tak horizontální souřadnici. Zavádí též novou konstantu c udávanou v jednotkách pídě na článek, mající velmi vysokou numerickou hodnotu.
Spočítá-li např. ležící žížala invariant přiřazený bodům na svém ocásku a hlavičce, dostane násobek kvadrátu své výšky, c2 h' 2 = (c Δτ')2 + (0)2. Stejný údaj spočte i neskloněná žížala ze svých údajů, c2 h' 2 = (c Δτ)2 + (Δξ)2. Invariant tak umožňuje neskloněným žížalám dopočítat rozměry ležící žížaly na základě jejich vlastních měření.
Pro mnohé žížaly byla existence a hlavně struktura žížalího invariantu záhadou. Vždyť jak se můžou dohromady míchat údaje týkající se dvou zcela odlišných směrů?