Hledáme lineární transformace mezi souřadnicemi t, x a t', x' nějaké zvolené události E
c t' = A c t + B x ,
x' = C c t + D x
zachovávající prostoročasový interval
– (c t)2 + x2 = – (c t') 2 + x' 2 .
(Zde jsme užili interval mezi událostí E a společným počátkem obou inerciálních soustav, tj. Δt=t, Δx=x atd.)
Po dosazení dostáváme
– c2 t2 + x2 =
= (–A2+C2) c2t2 +
(–B2+D2) x2 +
2 (–AB+CD) c t x .
Porovnáním koeficientů dostáváme podmínky
– A B + C D = 0 ,
– A2 + C2 = –1 ,
– B2 + D2 = 1 .
Vyjádřením C z první rovnice, dosazením do druhé a použitím třetí dostáváme (za předpokladu shodné orientace os)
A = D , B = C .
Rovnice se tak redukují na jednu podmínkuA2 – B2 = 1 ,
která lze splnit volbouA = D = ch β , B = C = – sh β ,
kde β je libovolný reálný parametr nazývaný rapidita.
Hledané transformace mají tedy tvar
c t' = ch β c t – sh β x ,
x' = – sh β c t + ch β x .