Úvod a motivace
Užitečnost alternativních formulací téhož problému ve fyzice. Ilustrace
na teoriích gravitace: Newtonova gravitační síla -> Poissonova rovnice
(pole potenciálu) -> Einsteinova rovnice (pole metriky, obecná teorie relativity).
Teoretická mechanika jakožto vyslovování Newtonových pohybových zákonů
jinými způsoby pro hmotné body, tuhé těleso i kontinuum. Zopakování základních
pojmů mechaniky, Newtonových pohybových zákonů a bude-li čas i mezí platnosti
mechaniky klasické (mechanika relativistická a kvantová).
Lagrangeovský formalizmus a Lagrangeovy rovnice
Zobecněné souřadnice aneb nepoužívejme jen (x,y,z). Occamova břitva
aneb nepoužívejme více souřadnic, než kolik je nezbytně nutno. Konfigurační
prostor: Zénónův paradox šípu a nezávislost zobecněných rychlostí na zobecněných souřadnicích.
Odvození Lagrangeových rovnic II.druhu. Lagrangeova funkce L:
případ bez potenciálu, s potenciálem, se zobecněným potenciálem
(pohyb částice v elektromagnetickém poli). Ilustrace: pohyb částice v poli centrální síly.
Hledání integrálů pohybu (cyklické souřadnice -> zachování zobecněných
hybností, explicitní nezávislost L na čase -> zachování zobecněné
energie). Ilustrace: Binetův vzorec pro pohyb v centrálním poli.
Pohyb planet a další aplikace
Keplerova úloha neboli obíhání planet v gravitačním poli Slunce. Odvození
Keplerových zákonů. Metoda efektivního potenciálu. Srovnání klasické a relativistické mechaniky:
pohyb kolem Slunce versus pohyb kolem černé díry, stáčení perihélia. Převedení
problému dvou těles na pohyb částice s redukovanou hmotností v poli centrální
síly. Problém 3 těles a nebeská mechanika, několik slov o chaosu.
Rozptyl částic, efektivní průřez a Rutherfordův vztah.
Hamiltonovy kanonické rovnice a Poissonovy závorky
Zobecněná hybnost neboli kanonicky sdružený impuls. Zavedení fázového
prostoru s ukázkami různých pohybů (oscilátor, tlumení, chaos). Hamiltonova
funkce. Odvození Hamiltonových kanonických rovnic. Ilustrace kanonických rovnic (harmonický oscilátor,
částice v elektromagnetickém poli). Význam Hamiltonova formalismu pro kvantovou
teorii (Schrödingerova rovnice, Feynmanovy diagramy jakožto rozvoj interakčního
hamiltoniánu) a statistickou fyziku (partiční funkce). Definice, základní
vlastnosti a algebra Poissonových závorek. Analogie s komutátory v kvantové
mechanice.
Mechanika tuhého tělesa
Opakování vektorů a tenzorů v Euklidovském prostoru. Grupa konečných
rotací a algebra infinitesimálních rotací. Zavedení vektoru úhlové rychlosti. Otáčení
tělesa kolem pevné osy, tenzor setrvačnosti. Vlastní čísla a vektory
včetně interpretace elipsoidu setrvačnosti. Kinetická energie rotačního
pohybu. Eulerovy úhly a Eulerovy kinematické rovnice. Eulerovy dynamické rovnice. Ukázkové příklady:
analýza pohybu symetrického bezsilového setrvačníku.
Rovnice struny a její řešení
Přechod od soustavy hmotných bodů ke spojitému prostředí. Ilustrace:
podélné kmity soustavy oscilátorů a příčné kmity struny. Vlnová rovnice a základní metody jejího
řešení: a) d'Alembertova metoda, b) separace proměnných (vlastní frekvence,
okrajové a počáteční podmínky, Fourierova analýza).
Základy relativistické mechaniky
Výsledky (počty bodů)
Modely (FAMULUS)
:
demonstrace chaosu (autorem modelů je doc. Dvořák)