Geometrické metody teoretické fyziky II

materiály k přednášce

NTMF060

prof. RNDr. Jiří Bičák, DrSc.

prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D.

LS 2021: 3/0 Zk

Konání přednášky:

Přednáška je rozvržena ve středu od 14:00 do 16:20 (v případě prezenční výuky v posluchárně ÚTF, 10. patro v Tróji).

Vzhledem k epidemiologické situaci přednáška nyní probíhá distančně. Přednášky jsou přednatáčeny a záznamy zveřejňovány níže. Ke každé přednášce se koná konzultace na platformě Zoom.

Výuka v tomto semestru probíhá v českém jazyce.

Seznam prezenčních přednášek, záznamy virtualních přednášek a doplňkové problémy lze nalézt níže.

Konzultace:

Každý týden se koná zoomovská konzultace, na které můžete vznést své dotazy k doposud zveřejněným přednáškám. Konzultace se konají ve středu typicky v rozvržené době přednášky. Přesný čas konzultace se bude s předstihem objevovat zde.

Příští konzultace se koná:

Záznamy přednášek:

Přednášky ke stažení:

Úvodní slovo
záznam: [mp4 13MB 4min]
Hodgeova teorie
Lokální a globální Hodgeovo rozštěpení, harmoniky. Kohomologické grupy.
záznam: [mp4 440MB 99min]
Homologické a kohomologické grupy
Simplektické komplexy, chain, hranice, homologická grupa, příklady. Dualita homologické a kohomologické grupy. Bettiho čísla.
záznam: [mp4 274MB 87min]
Příklady kohomologických grup [nepovinný doplňkový materiál]
Nultá kohomologická grupa H0M, kohomologické grupy variet S1, T2 a Sn.
záznam: [mp4 112MB 36min]
Homotopie
Homotopie, homotopická zobrazení, fundamentální grupa, homotopická ekvivalence variet, homotopický operátor, kontrahovatelnost a Poincarého lema.
záznam: [mp4 598MB 146min]
Připomenutí vnějšího kalkulu; Maxwellovy rovnice v řeči forem
Vnější kalkulus, vnější součin, vnější derivace, Hodgeův duál, aplikace na Maxwellovu teorii se zdroji.
záznam: [mp4 136MB 56min]
poznámky: [pdf]
Riemanovská geometrie ve formách
Tetrádový formalismus, báze forem, 1-formy konexe, Ricciho rotační koeficienty, první Cartanovy rovnice struktury, 2-formy křivosti, druhé Cartanovy rovnice struktury.
záznam: [mp4 239MB 108min]
poznámky: [pdf]
Riemanovská geometrie ve formách - aplikace
Identity pro křivost, É. Cartan, dvoudimensionální plochy, P. C. Vaidya, Vaidyaův prostoročas, výpočet křivosti.
záznam: [mp4 239MB 112min]
poznámky: [pdf]
Geometrie Lieových grup 1 – Základní struktury
Lieovy grupy, levo- a pravo-invariantní pole, konstrukce Lieovy algebry, strukturní tenzor, Killingova metrika, bi-invariantní metrika a míra. Exponenciální zobrazení. Přidružené reprezentace. Prosté a poloprosté Lieovy grupy a algebry a jejich vlastnosti.
záznam: [mp4 552MB 130min]
poznámky: [pdf]
Geometrie Lieových grup 2 – Kovariantní derivace; Akce grupy na varietě
Levo- a pravo-invariantní kovariantní derivace, rovnice pro levo- a pravo-invariantní báze, λ-derivace, Levi-Civitova derivace, křivost. Akce Lieovy grupy na varietě, generátory akce a jejich Lieovy závorky. Reprezentace Lieovy grupy a algebry na vektorovém prostoru, generátor reprezentace. Grupa symetrií metriky, Killingovy vektory a jejich transformace, příklady v E2.
záznam: [mp4 576MB 160min]
V první zveřejněné verzi přednášky nebyla pasáž týkající se genrátoru akce grupy na varietě vysvětlena nejlépe. Rozhodl jsem se proto tuto část přetočit a nyní je zveřejněna nová verze. Od původní verze se liší v úseku 1:06–1:19.
poznámky: [pdf]
materiál navíc: Příklad grupy isometrií [pdf]
Vektorové fibrované prostory 1 – Definice; Kovariantní derivace
Fibrované prostory, příklad odlišných bundlů. Kovariantní derivace na vektorových bundlech, rozdíl kovariantních derivací, vektorový potenciál. Antisymetrické formy s hodnotami ve vektorovém bundlu, kovariantní vnější derivace.
záznam: [mp4 596MB 123min]
poznámky: [pdf]
Vektorové fibrované prostory 2 – Křivost
Operátor křivosti, tenzor křivosti, křivost jako druhá kovariantní vnější derivace. Tenzor křivosti z vektorového potenciálu. Bianchiho identity, zákon zachování toku.
záznam: [mp4 489MB 112min]
poznámky: [pdf]
Tensor značné formy na tečném bundlu [doplňkový nepovinný materiál]
Rozdělení tečných indexů na formové a tenzorové. Torze jako kovariantní vnější derivace jednotky. Riemannův tenzor. Bianchiho identity.
záznam: [mp4 92MB 28min]
poznámky: [pdf]

Odpřednášený čas povinných přednášek:  min z celkových 1890 min.
To pokrývá cca 8 a 1/3 rozvržených přednášek.

Literatura: