NTMF060 - Geometrické metody teoretické fyziky II

Anotace:

Geometrie Lieových grup a algeber (geometrické struktury na Lieových grupách, Lieova algebra grupy, akce grupy na varietě, reprezentace na vektorovém prostoru). Hodgeova teorie (Hodgeova dekompozice, de Rhamův-Laplaceův operátor, harmoniky), topologické metody (kohomologické a homologické grupy, homotopie, fundamentální grupa, homotopická ekvivalence, Poincarého lemma). Fibrované prostory (vektorové bundly, kovariantní derivace), geometrická formalace teorie kalibračních polí (vnitřní stupně volnosti, akce a rovnice pohybu), charakteristické třídy (invariantní symetrické polynomy, Chernova-Weilova věta, charakteristické třídy, Eulerova forma). Rozštěpení křivosti na podvaritách (první a druhá fundamentální forma, ortogonální projekce křivosti, Gaussova, Weingartenova a Codazziho–Mainardiho rovnice, vnější křivost nadploch, Gaussova Theorema Egregium pro plochy).

Předpokládají se základní znalosti z diferenciální geometrie v rozsahu přednášky NTMF059, na kterou tento předmět volně navazuje.

Annotation:

Geometry of Lie groups and algebras (geometric structures on Lie groups, Lie algebra, the action of Lie group on a manifold, vector representations). Hodge theory (Hodge decomposition, de Rham-Laplace operator, harmonics). Topological methods (Cohomology a homology groups, homotopy, fundamental group, homotopy equivalence, Poincare lemma). Fibre bundles (vector bundles, covariant derivative). Geometry of gauge fields (inner degrees of freedom, gauge symmetry, the action and field equations). Characteristic classes (invariant symmetric polynomials, Chern-Weil theorem, characteristic classes, Euler form). Curvature splitting on submanifolds (first and second fundamental form, orthogonal projection of the curvature, Gauss, Weingarten, and Codazzi–Mainardi equations, extrinsic curvature for hypersurfaces, Gauss's Theorema Egregium for 2-surfaces).

Knowledge of the differential geometry at the level of the course NTMF059 is assumed.

Konání přednášky:

Kurz je rozvržen ve středu od 14:00 do 16:20 v posluchárně T1.

Výuka v letním semestru 2024 probíhá v českém a angliském jazyce. Partie přednášené v češtině mají záznam v anglickém jazyce dostupný pro zapsané studenty.

Přednášky se konají prezenčně. Nově přednášené partie budou nahrávány. Spolu se záznamy z předchozích let budou tak zapsaným studentům k dispozici záznamy všech přednášených témat v angličtině a většina i v češtině.

Schedule of lectures:

The course is scheduled on Wednesdays at 14:00–16:20 in lecture room T1.

The lectures are given mostly in Czech. However, all topics given in Czech are available in English as recordings from previous years. New topics, not recorded before, will be given in English.

Lectures are given in person. New topics will be recorded. Together with recordings from previous years, the enrolled students will have access to recordings of all topics.

Sylabus:

Přehled geometrie Lieových grupy a algeber: Lieovy grupy, konstrukce Lieovy algebry, exponenciální zobrazení, Killingova metrika a strukturní konstanty, levo- a pravo-invariantní metrika, míra, kovariantní derivace. Přidružené reprezentace. Akce grupy na varietách, spojité transformace a jejich generátory. Reprezentace na vektorových prostorech.
Hodgeova teorie: Skalární součin na prostoru forem, Hodgeho duál, koderivace, de Rhamův-Laplaceův a Beltrami-Laplaceův operátor, Hodgeova dekompozice, potenciál a kopotenciál, harmoniky a kohomologie.
Topologické metody: Kohomologické a homologické grupy, homotopie, fundamentální grupa, homotopická ekvivalence, homotopický operátor, kontrahovatelnost a Poincareho lema.
Fibrované prostory: Fibrované prostory, vektorové bundly a geometrie na nich, kovariantní derivace, vektorový potenciál a křivost, kalibrační symetrie, objekty na lokální Lieovy algebře.
Geometrická formulace kalibračních polí: Vnitřní stupně volnosti a jejich reprezentace pomocí vektorových bundlů. Kalibrační symetrie. Bundl kalibrační grupy a algebry, kalibrační a Yang-Millsovo pole. Akce a pohybové rovnice. Elektromagnetické a nabitá pole.
Charakteristické třídy: Invariantní symetrické polynomy v křivosti, Chernova-Weilova věta, charakteristické třídy, Chernovy třídy a charakteristiky, Pontrjaginovy třídy, Eulerova forma, integrální charakteristiky.
Rozštěpení křivosti na podvaritách: První a druhá fundamentální forma, ortogonální projekce křivosti, Gaussova, Weingartenova a Codazziho–Mainardiho rovnice. Vnější křivost nadploch. Časový tok a časová komponenta křivosti. Gaussova Theorema Egregium pro dvoudimenzionální plochy.

Syllabus:

Geometry of Lie groups and algebras: Lie groups, construction of Lie algebra, exponential mapping, Killing metric, structure constants. Bi-invariant metric, measure, covariant derivative. Adjoint representations. The action of Lie group on a manifold, flows and their generators. Representations on vector spaces.
Hodge theory: Scalar product on forms, Hodge dual, coderivative, de Rham-Laplace and Beltrami-Laplace operators. Hodge decomposition, potential and copotential, harmonics, cohomology.
Topological methods: Cohomology a homology groups, homotopy, fundamental group, homotopy equivalence, homotopy operator, contraction, Poincare lemma.
Fibre bundles: Abstract fibre bundles. Vector bundles and their geometry, covariant derivative, vector potential and curvature. Objects on the gauge-algebra bundle.
Geometry of gauge fields: Inner degrees of freedom and their description in terms of vector bundles. Gauge symmetry. Gauge group and gauge algebra bundles. Gauge and Yang-Mills fields. The action and field equations. Electromagnetic and charged fields.
Characteristic classes: Invariant symmetric polynomials in curvature, Chern-Weil theorem, characteristic classes, Chern class and character, Pontrjagin class, Euler form, integral quantities.
Curvature splitting on submanifolds: The first and second fundamental form, the orthogonal projection of the curvature, Gauss, Weingarten, and Codazzi–Mainardi equations. Extrinsic curvature for hypersurfaces. Time flow complementary to the hypersurface. Gauss's Theorema Egregium for 2-surfaces.

Literatura/Literature:

M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, 2004,
M. Fecko: Differential Geometry and Lie Groups for Physicists, Cambridge Univ. Press, 2011.
C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.
T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.
M. Nakahara: Geometry, Topology and Physics, Taylor&Francis, 2003.
Ch. Nash, S. Sen: Topology and Geometry for Physicists, Dover Publ., 2011.
J. A. de Azcárraga, J. M. Izquierdo: Lie Groups, Lie Algebras, Cohomology and some Applications in Physics, Cambridge Univ. Press, 1995.
Ch. J. Isham: Moddern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.
E. W. Mielke: Geometrodynamics of Gauge Fields, Springer, 2017.
C. W. Misner, K. S. Thorne a J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.
S. Kobayashi a K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.
M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.
R. Penrose a W. Rindler: Spinors and space-time, Cambridge Univ. Press, 1999.
P. O'Donnell: 2-Spinors in General Relativity, World Scientific, 2003.
V. I. Arnold: Mathematical methods of classical mechanics, Graduate Texts in Math. No. 60, Springer-Verlag, 1978.
R. Abraham a J. E. Marsden: Foundations of Mechanics, Addison-Wesley, 1985.

Geometrické metody teoretické fyziky II