Symetrie rovnic matematické fyziky a zákony zachování (NTMF064)

Letní semestr 2024/2025

Přednáška se letos koná nestandardně formou čtyřhodinových přednášek ve čtvrtek od 14:00 v posluchárně ÚTF a střídá se s přednáškou prof. Podolského Přesné prostoročasy.

Předběžný plán přednášek:

Materiály ke stažení

Poznámka: Ke spuštění notebooků v Mathematice je nutno nejprve otevřít a spustit (kliknout na Run All Code) knihovnu NTMF064.Package.m.

Základní poznámky a notebooky

Kompletní naskenované poznámky v jediném souboru: pdf [55 MB]

Doplňující poznámky a některé vyřešené úlohy

• Nalezení ODR invariantní vůči zadané bodové symetrii (pdf)
• Snížení řádu, případně vyřešení obyčejné diferenciální rovnice pomocí její bodové symetrie (pdf)
• Charakteristický tvar bodové symetrie (pdf)
• Naskenované doplňující poznámky o zobecněných symetriích a odvozená zákonů zachování pomocí multiplikátorů (pdf)

Požadavky ke zkoušce

K úspěšnému zdolání zkoušky je zapotřebí osvojit si čtyři následující témata:

1. jak najít infinitezimální generátory bodových (zobecněných) symetrií dané diferenciální rovnice (systému diferenciálních rovnic),
2. jak využít Lieových grup symetrie dané obyčejné, či parciální diferenciální rovnice (systému diferenciálních rovnic) k jejímu zjednodušení, případně k jejímu úplnému vyřešení (nalezení partikulárního řešení),
3. jak nalézt zákony zachování a integrály pohybu pomocí bodových symetrií Eulerových-Lagrangeových diferenciálních rovnic, které jsou zároveň symetriemi příslušného variačního funkcionálu,
4. jak určit obecný tvar lineárních (případně nelineárních) diferenciálních rovnic určitého řádu invariantních vůči zadané Lieově grupě bodových transformací.

• jednoparametrická a r-parametrická Lieova grupa bodových transformací,
• infinitezimální transformace a infinitezimální generátor bodových transformací,
• první Lieův teorém a konstrukce konečných transformací z infinitezimálních generátorů,
• Lieova algebra Lieovy grupy transformací a řešitelná Lieova algebra,
• rozšíření (prodloužení, prolongace) bodových transformací a jejich infinitezimálních generátorů na prostor rozšířený o derivace závislých proměnných,
• grupa symetrie diferenciální rovnice a infinitezimální kritérium invariance diferenciální rovnice vůči Lieově grupě transformací,
• kanonické souřadnice a jejich využití k redukci, případně k nalezení řešení obyčejných diferenciálních rovnic,
• zobecněné symetrie diferenciálních rovnic, kontaktní symetrie a symetrie vyšších řádů, charakteristický tvar infinitezimálního generátoru,
• diferenciální invarianty a jejich využití k redukci obyčejných diferenciálních rovnic,
• invariantní řešení parciální diferenciální rovnice a eliminace jedné nezávislé proměnné
• variační symetrie, infinitezimální kritérium variační symetrie,
• obecné zákony zachování a jejich charakteristika, teorém Noetherové pro bodové symetrie

Příklady u zkoušky

Zde jsou ukázky zadání a řešení příkladů z minulých zkoušek.

• Lorentzova transformace a vlnová rovnice
• Jednorozměrná Schrödingerova rovnice

Zde jsou na procvičení zadání jednodušších příkladů (zatím) bez řešení.
y_k značí k-tou derivaci funkce y(x) podle x.

Lieovy grupy transformací a jejich generátory
1. Ukažte, že projektivní transformace x' = (αx + β)/(γx + δ) tvoří Lieovu grupu bodových transformací. O kolikaparametrickou grupu jde? Určete generátory této grupy a jejich komutátory.
2. Určete jednoparametrickou Lieovu grupu transformací prostoru R², jejíž generátor je X = x²∂_x + 2xy∂_y a nalezněte obecný tvar nadplochy F(x,y) = 0, která je invariantní při této transformaci.


Zjednodušování a úplná integrace ODR
3. Ověřte, že diferenciální rovnice y₂ - (y₁)² + y = 0 je invariantní vůči translaci nezávislé proměnné, a pomocí metody diferenciálních invariantů snižte řád této nelineární rovnice.


Určení bodových symetrií ODR a obecného tvaru ODR invariantní vůči dané grupě symetrií
4. Určete dvouparametrickou grupu symetrií Blasiovy rovnice y₃ + 1/2 yy₂ = 0. (Viz [1], str. 135-136.)
   Využijte věty: Má-li ODR alespoň třetího řádu tvar y_n = g(x,y)y_n-1 + h(x,y,y₁,...,y_n-2) a je-li X = ξ(x,y)∂_x + η(x,y)∂_y generátorem její symetrie, pak ∂ξ/∂y = 0 a ∂²η/∂y² = 0.
5. Dokažte pomocnou větu z předcházejícího příkladu.


Nalezení partikulárního řešení PDR pomocí symetrie

6. Ověřte, že vlnová rovnice u_xx = u_tt je invariantní vůči škálování x' = αx, t' = αt, u' = u, a určete partikulární řešení invariantní vůči této transformaci.

Doporučená literatura ke zkoušce

Níže uvedená literatura k přednášce je k dispozici ke stažení v "tajném" podadresáři, jehož jméno se dozvíte na přednášce či na požádání (nejlépe zasláním e-mailu na výše uvedenou adresu).