Analytická mechanika

výběrová přednáška pro studenty matematiky od 2. ročníku (OFY032, 2/1, Zk)

Jiří Podolský, Jiří Langer


Připomenutí základů mechaniky a motivace
Zopakování základních pojmů mechaniky: prostor, čas, vztažná soustava, Newtonovy pohybové zákony. Meze platnosti klasické mechaniky (mechanika relativistická a kvantová). Užitečnost alternativních formulací téhož problému ve fyzice. Analytická mechanika jakožto vyslovování Newtonových pohybových zákonů jinými způsoby.

Lagrangeovy rovnice, pravidla, metody a triky Lagrangeova formalismu
Síly vtištěné versus reakce podložky. Pojem vazby, d'Alembertův princip a jeho důsledky. Zobecněné souřadnice. Occamova břitva aneb nepoužívejme více souřadnic, než kolik je nezbytně nutno. Nezávislost zobecněných rychlostí na zobecněných souřadnicích. Odvození Lagrangeových rovnic z d'Alembertova principu. Lagrangeova funkce L. Ilustrace: cykloidální kyvadlo. Kuchařka pro sestavení pohybových rovnic. Ilustrace: pohyb částice v poli centrální síly. Metody a triky řešení pohybových rovnic, integrály pohybu a cyklické souřadnice. Ilustrace: Binetův vzorec pro pohyb v centrálním poli.

Pohyb planet a zmínka o deterministickém chaosu
Keplerova úloha neboli obíhání planet v gravitačním poli Slunce. Odvození Keplerových zákonů. Newton to měl také těžké aneb přímá a inverzní úloha. Metoda efektivního potenciálu. Srovnání klasické a relativistické mechaniky: pohyb kolem Slunce versus pohyb kolem černé díry, stáčení perihélia. Převedení problému dvou těles na pohyb částice s redukovanou hmotností v poli centrální síly. Problém n těles a nebeská mechanika. Integrabilita versus deterministický chaos.

Hamiltonův variační princip
Základy variačního počtu (motivace a vysvětlení pojmu extremála: Fermatův princip, brachystochrona). Odvození podmínky pro extremálu: Eulerovy-Lagrangeovy rovnice. Ilustrace: nejkratší spojnice v rovině a na sféře. Definice akce a Hamiltonův variační princip mechaniky. Variační princip jako mocný nástroj moderní teoretické fyziky: symetrie a zákony zachování (teorém Emmy Noetherové), zmínka o kalibračních transformacích a polích, obecná teorie relativity.

Hamiltonovy kanonické rovnice a Poissonovy závorky
Zobecněná hybnost. Zavedení fázového prostoru s ukázkami (oscilátor, tlumení, chaos). Hamiltonova funkce. Odvození Hamiltonových kanonických rovnic z Hamiltonova principu i z rovnic Lagrangeových. Ilustrace. Význam Hamiltonova formalismu pro kvantovou teorii. Definice, základní vlastnosti a algebra Poissonových závorek. Analogie s komutátory v kvantové mechanice.

Mechanika tuhého tělesa
Vektory a tenzory v euklidovském prostoru. Konečné a infinitesimální rotace, jejich reprezentace pomocí antisymetrických matic - příklad praktické aplikace teorie grup. Zavedení vektoru úhlové rychlosti. Otáčení tělesa kolem pevné osy, tenzor momentu setrvačnosti. Kinetická energie rotačního pohybu. Rozklad pohybu na translaci a rotaci. Lagrangeova funkce pro tuhé těleso a odvození Eulerových dynamických rovnic. Ukázkový příklad: pohyb setrvačníku.

Od hmotných bodů k mechanice spojitého prostředí
Lagrangeova funkce pro příčné kmity struny. Odvození pohybových rovnic z Hamiltonova principu. Vlnová rovnice a metody jejího řešení. Perspektivy: klasická pole a jejich kvantování, kosmologie a modely vesmíru.

Poznámky:

Literatura:

Studijní text k tuhému tělesu (J.Langer, J.Podolský)

[1] M.Brdička, A.Hladík: Teoretická mechanika , Academia, Praha, 1987.
[2] L.D.Landau, E.M.Lifšic: Mechanika , Fizmatgiz, Moskva, 1958.
[3] J.Kvasnica a kol.: Mechanika , Academia, Praha, 1988.
[4] J.W.Leech: Klasická mechanika , SNTL, Praha, 1970.
[5] K.R.Symon: Mechanics , Addison-Wesley, Reading, 1971. .


15/9/98