Geometrické metody teoretické fyziky I

NTMF059

doc. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D.

LS: 2/2 Zk - 2015

Anotace:

Tenzorový počet. Diferencovatelné variety a tečné prostory. Zobrazení variet a Lieova derivace. Vnější kalkulus. Riemannova a pseudoriemannova geometrie. Kovariantní derivace, torze a křivost, prostor konexí, Levi-Civitova konexe, vztah Lieovy, vnější a kovariantní derivace. Variety s hranicí a podvariety, podmínky integrability. Integrování na varietách, hustoty. Integrální věty.

Přednáška je určena zejména pro zájemce o teoretickou fyziku v závěru bakalářského či začátkem magisterského studia.

Na přednášku navazuje předmět NTMF060 - Geometrické metody teoretické fyziky II.

Termíny zkoušky:

Zkouška se koná na Ústavu teoretické fyziky v následujících termínech:

Další termíny po domluvě s doc. Krtoušem.

Konání přednášky:

Přednáška a cvičení se koná každou středu od 13:10 do 16:20 hodin v posluchárně ÚTF (10. patro v Tróji).

Pokud bude zájem o přednášku ze strany studentů třetího ročníku, na první přednášce se může dohodnout přizpůsobení termínu tak, aby se vyhlo kolizí s předmětem Matematika pro fyziky III.

Sylabus:

Tenzorový počet
vektorový prostor a jeho duál, tenzorový součin, multi-lineární zobrazení tenzorů, transformace komponent, značení tenzorů
Diferencovatelné variety
základy topologie, diferencovatelná struktura, tečné prostory, vektorová a tenzorová pole, Lieovy závorky
Zobrazení variet a Lieova derivace
zobrazení variet, indukované zobrazení, difeomorfismy, tok, Lieova derivace
Vnější kalkulus
vnější součin, vnější derivování, exaktní a uzavřené formy, Poincareho lemma
Riemannova a pseudoriemannova geometrie
metrika, signatura metriky, délka křivky a vzdálenost, Hodgeův duál, Levi-Civitův tenzor, koderivace, příklady maximálně symetrických prostorů a prostoročasů
Kovariantní derivace
paralelní přenos, kovariantní derivování, kovariantní diferenciál, geodetiky, normální souřadnice; tenzor torze, Riemannův tenzor, komutátor kovariantních derivací pro skalár a obecný tenzor, Bianchiho identity, Ricciho tenzor
Prostor kovariantních derivací
pseudoderivace, rozdíl dvou konexí a rozdílový tenzor, souřadnicová deriace, souřadnice konexe, n-ádová derivace, Ricciho (spinové) koeficienty, derivace anihilující metriku, tenzor kontorze
Levi-Civitova kovariantní derivace
metrická derivace, Christoffelovy symboly, rozštěpení Riemanova tenzoru, Weylův tenzor, skalární křivost, Einsteinův tenzor, einsteinovské prostory a prostory maximální křivosti
Vztah Lieovy, vnější a kovariantní derivace
vyjádření Lieovy a vnější derivace; Killingovy vektory a tenzory, symetrie a zachovávající se veličiny, Schoutenovy-Nijenhuisovy závorky
Variety s hranicí a podvariety
variety s hranicí, vnořené a vložené podvariety, přizpůsobené souřadnice; tečný a normálový prostor, vnější a vnitřní křivost, Gaussova–Codazziho formule, rozštěpení křivosti na nadplochách, 2-dimenzionální plochy, "Theorema Egregium"; distribuce, foliace a podmínky integrability, Frobeniova věta
Integrování na varietách
integrovatelné hustoty, vztah k antisymetrickým formám, integrování forem a hustot; tenzor orientace, hustotní duál, metrický a symplektický objemový element; divergence tenzorových hustot, kovariantní derivace hustot, derivace anihilující objemový element
Integrální věty
zobecněná Stokesova věta pro formy, normálová a tečná restrikce tenzorových hustot na podvarietu, integrování tenzorových hustot na podvarietách, Stokesova a Gaussova věta

Studijní texty:

Vedle literatury uvedené níže jsou k dispozici texty speciálně k této přednášce:

Literatura:


© 2015-09-29; Pavel Krtouš <Pavel.Krtous@mff.cuni.cz>