Geometrické metody teoretické fyziky II

NTMF060

prof. RNDr. Jiří Bičák, DrSc.

doc. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D.

LS: 3/0 Zk - 2013

Anotace:

Riemannova geometrie v řeči diferenciálních forem (formulace Maxwellových rovnic, výpočet tenzoru křivosti), Hodgeova teorie (Hodgeova dekompozice, de Rhamův-Laplaceův operátor, harmoniky), Lieovy grupy a algebery (geometrické struktury na Lieových grupách, Lieova algebra grupy), fibrované prostory (vektorové bundly, kovariantní derivace) geometrická formalace kalibračních polí, SL(2,C) spinory (vztah spinorů a vektorů, soldering form, fyzikální pole v řeči spinorů), charakteristické třídy (invariantní symetrické polynomy, Chernova-Weilova věta, charakteristické třídy, Eulerova forma, integrální charakteristiky, Chernovy-Simonsovy formy)

Předpokládají se základní znalosti z diferenciální geometrie v rozsahu přednášky NTMF059, na kterou tento předmět navazuje.

Termíny zkoušky:

Zkouška se koná na Ústavu teoretické fyziky v následujících termínech:

Další termíny po domluvě s prof. Bičákem nebo doc. Krtoušem.

Zkouška se skládá z písemné (výpočet křivosti metriky formalismem forem) a ústní části (2 otázky z vyložené látky).

Konání přednášky:

Přednáška se koná každou středu od 9:00 do 12:10 v posluchárně ÚTF (10. patro v Tróji).

Sylabus:

Riemannova geometrie v řeči diferenciálních forem
Vnější kaluklus - základní operace a věty (opakování). Formulace Maxwellových rovnic. Ortonormální báze, Cartanovy rovnice struktury, Ricciho koeficienty, Bianchiho identity. Výpočet tenzoru křivosti, příklad - Vaidyaho metrika.
Dvoukomponentové spinory
Zavedení spinorů, antisymetrická metrika, soldering form – `odmocnina' z metriky, vztah vektorů a spinorů, geometrické veličiny a fyzikální pole v řeči spinorů.
Hodgeova teorie
Skalární součin na prostoru forem, Hodgeho duál, koderivace, de Rhamův-Laplaceův a Beltrami-Laplaceův operátor, Hodgeova dekompozice, potenciál a kopotenciál, harmoniky a kohomologie.
Přehled geometrie Lieových grupy a algeber
Lieovy grupy, konstrukce Lieovy algebry, exponenciální zobrazení, Killingova metrika a strukturní konstanty, levo- a pravo-invariantní metrika, míra a kovariantní derivace. Přidružené reprezentace. Akce grupy na varietách, spojité transformace a jejich generátory. Reprezentace na vektorových prostorech.
Fibrované prostory
Fibrované prostory, vektorové bundly a geometrie na nich, kovariantní derivace, vektorový potenciál a křivost, objekty na lokální Lieovy algebře.
Geometrická formalace kalibračních polí
Vnitřní stupně volnosti a jejich reprezentace pomocí vektorových bundlů, Yang-Millsovo pole. Bundl kalibrační grupy a algebry, kalibrační pole. Akce kalibračního a Yang-Millsových polí. Kalibrační symetrie. Elektromagnetické a nabitá pole. Chern-Simonsovy formy.
Charakteristické třídy
invariantní symetrické polynomy v křivosti, Chernova-Weilova věta, charakteristické třídy, Chernovy třídy a charakteristiky, Pontrjaginovy třídy, Eulerova forma, integrální charakteristiky, Chernovy-Simonsovy formy.

Studijní texty:

Vedle literatury uvedené níže jsou k dispozici texty speciálně k této přednášce:

Literatura:


© 2014-04-15; Pavel Krtouš <Pavel.Krtous@mff.cuni.cz>