Proseminář z teoretické mechaniky

NOFY069, 0/2, Z
prof. Jiří Podolský

od roku 2005 do roku 2019 vyučován pod kódem NTMF069 jako

Proseminář teoretické fyziky I

historii předmětu na MFF UK (počty studentů, ankety) lze dohledat
po zalogování do SIS na stránce NTMF069

Anotace:

Proseminář je koncipován jako doplněk přednášky Teoretická mechanika (NOFY003). Jeho smyslem je prohloubit a rozšířit pojmy a metody analytické mechaniky. Posluchači se seznámí jak s moderními matematickými přístupy, tak s vybranými fyzikálními tématy. Jádrem semináře je zavedení a pochopení "bezsouřadnicového zápisu" Lagrangeova a Hamiltonova formalismu v jazyce diferenciální geometrie.

Plán přednášek:

Základy diferenciální geometrie
Pojem diferencovatelné variety. Funkce a křivka na varietě, tečný a kotečný prostor, vektory a formy, tečný a kotečný bandl, fíbrované prostory. Vektorové pole a jeho integrální křivky. Tok generovaný vektorovým polem, zobrazení "push-forward" a "pull-back". Lieův přenos funkce, vektoru a formy, Lieova derivace, Lieova závorka. Diferenciální 2-formy: vložení, vnější součin a vnější derivace.

Geometrická formulace Lagrangeovy mechaniky
Fázový portrét dynamického systému, fyzikální stav, dynamický systém coby vektorové pole. Konfigurační varieta Q, zobecněné souřadnice. Tečný bandl TQ coby aréna lagrangeovské mechaniky. Lagrangeova funkce, dynamické vektorové pole a jeho integrální křivky na TQ. Lagrangeovy pohybové rovnice v čistě geometrické řeči. Aplikace: zákony zachování, teorém Emmy Noetherové, kalibrační invariance.

Geometrická formulace Hamiltonovy mechaniky
Kotečný bandl T*Q coby aréna hamiltonovské mechaniky: fázová varieta, zobecněné souřadnice a kanonické hybnosti. Hamiltonián na T*Q jako Legendreova transformace lagrangiánu na TQ. Symplektická matice: jednotný zápis Hamiltonových kanonických rovnic a Poissonových závorek. Geometrická podoba Hamiltonových rovnic. Geometrická struktura fázové variety, symplektická 2-forma, T*Q coby symplektická varieta. Hamiltonovské vektorové pole, geometrická definice Poissonových závorek, hamiltonovská verze teorému Noetherové. Kanonické transformace na fázové varietě geometricky. Liouvilleova věta.

Podmínky pro získání zápočtu:

Zápočet se uděluje na základě úspěšně absolvovaného závěrečného písemného rychlotestu.

Literatura:

Studijní text Teoretická mechanika v jazyce diferenciální geometrie (J. Podolský, 2019/2024) je k dispozici pro studenty, kteří mají předmět NOFY069 zapsán, a to jako pdf soubor po zalogování do SIS na stránce tohoto předmětu

[1] J. Podolský: Teoretická mechanika ve třech knihách, Karolinum a MatfyzPress, Praha, 2024.
[2] M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, Iris, Bratislava, 2004.
[3] R. Abraham, J. E. Marsden: Foundations of Mechanics, Addison-Wesley, Reading, 1985.
[4] V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, New York, 1978.
[5] W. M. Oliva: Geometric Mechanics, Springer, Berlin, 2002.
[6] J. V. José, E. J. Saletan: Classical Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
[7] B. F. Schutz: Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

Kontakt:

e-mail: Jiri.Podolsky AT mff.cuni.cz
telefon: 9 5155 2505