Říkali jsme si o procedurálních parametrech v jazyce pascal a dále jsme si povídali o různých metodách výpočtu určitého integrálu funkce reálné proměnné. Při integraci jsme na různé úrovni používali lichoběžníkové pravidlo. Práci jsme si rozdělili na následující úkoly:
1) Napište proceduru, do níž vstupuje funkce, integrační meze a aproximace určitého integrálu lichoběžníkovým pravidlem a která provede vylepšení této aproximace zjemněním integračního kroku na polovinu.
2) Napište funkci, která spočítá určitý integrál zadané funkce lichoběžníkovým pravidlem. Použijte proceduru a průběžně kontrolujte přesnost dokud nedosáhne předem zadané hodnoty.
3) Dá se dokázat, že lichoběžníkové pravidlo má chybu řádu O(h2), kde h je délka kroku. Známe hodnotu integrálu I(N) spočtenou s použitím N+1 hodnot integrované funkce a hodnotu I(2N) spočtenou s použitím 2N+1 hodnot. Ukažte, že chyba řádu O(h2) se odečte ve výrazu (4*I(2N)-I(N))/3 a výsledek odpovídá výpočtu Simpsonovým pravidlem (tj. aproximací funkce po částech kvadratickou funkcí).
4) V odečítání chyb se jako v 3) se dá pokračovat dále přičemž se dá ukázat, že řád chyby se zvyšuje vždy o dvě. Např. Simpsonovo pravidlo má chybu řádu O(h4) a označíme-li S(2N)=(4*I(2N)-I(N))/3 aproximuje (16*S(2N)-S(N))/15 integrál s chybou řádu O(h6). Můžeme iterovat dále a metoda se nazývá Rombergova integrace. Napište funkci pro výpočet určitého integrálu touto metodou.
Všechny uvedené metody jsou shrnuty v tomto programu. Pozor: Rombergova integrace je vhodná jen pro funkce které jsou dostatečně hladké. Jinak je lepší použít Simpsonův vzorec, který konverguje sice pomaleji (se zvyšujícím N), ale je robustnější (metoda funguje pro širší třídu funkcí).
Domácí úkol: Hledání kořenů funkce metodou půlení intervalu. Podrobnosti viz zde.