Výpočet Greenovy funkce pro diferenciální operátor s Dirichletovými okr. podmínkami

L[g_[z_]]= -g''[z]+6/x^2*g[z]

G[x_,y_,ϵ_]=GreenFunction[{L[u[x]],u[ϵ]==0,u[1]==0},u[x],{x,ϵ,1},y]

Plot3D[G[x,y,ϵ]*HeavisideTheta[x-ϵ]*HeavisideTheta[y-ϵ]/.ϵ->0.2,{x,0,1},{y,0,1}]

Ověření symetrie

G[x,y,ϵ]-G[y,x,ϵ]

Limita pro levou mez intervalu dává Greenovu funkci od nuly

G[x_,y_]=G[x,y,ϵ]/.ϵ -> 0

G[x_,y_]=Limit[G[x,y,ϵ],ϵ -> 0]

Ověření splňení okrajové podmínky v nule nelze provést přímočaře

G[x,y]/.x-> 0

Limit[G[x,y],x -> 0]

Limit[G[x,y],x -> 0, Assumptions-> 0<y<1]

Limit[G[x,y],{y -> 0,x->0}]         (* Nested limit *)
Limit[G[x,y],{x,y} -> {0,0}]    (* Multivariate limit *)

HeavisideTheta[x]/.x->0

D[HeavisideTheta[x],x]

Nalezení Greenovy funkce pomocí DSolve

DSolve[L[h[x]]==0,h[x],{x,0,1}]   (* homogenní řešení *)

DSolve[{L[GG[x]]==DiracDelta[x-y],GG[0]==0,GG[1]==0},GG[x],{x,0,1},Assumptions->0<y<1]

Assuming[0<y<1,DSolve[{L[GG[x]]==DiracDelta[x-y],GG[0]==0,GG[1]==0},GG[x],{x,0,1}]]

G[x,y]-GG[x]/.%//FullSimplify

Graf Greenovy funkce G[x,y]

Plot3D[G[x,y],{x,0,1},{y,0,1}]

Určení řešení s pravou stranou

f[y_]:= 1/2-Abs[y-1/2]

Plot[f[x],{x,0,1}]

Integrace s Greenovou funkcí

Solution=Integrate[G[x,y]*f[y],{y,0,1}, Assumptions-> 0≤x≤1]

FullSimplify[Solution]

Graf výsledné funkce

Plot[{Simplify[Solution]},{x,0,1}]

Výpočet Greenovy funkce pro diferenciální operátor s Neumannovými okr. podmínkami

L[g_[z_]]= -g''[z]+6/x^2*g[z]

G1[x_,y_,ϵ_]=GreenFunction[{L[u[x]],u'[ϵ]==0,u'[1]==0},u[x],{x,ϵ,1},y]

Plot3D[G1[x,y,ϵ]*HeavisideTheta[x-ϵ]*HeavisideTheta[y-ϵ]/.ϵ->0.2,{x,0,1},{y,0,1},PlotRange->Full]

Ověření symetrie

G1[x,y,ϵ]-G1[y,x,ϵ]

Limita pro levou mez intervalu dává Greenovu funkci od nuly

G1[x_,y_]=G1[x,y,ϵ]/.ϵ -> 0

Ověření splňení okrajové podmínky v nule nelze provést přímočaře

D[G1[x,y],x]/.x-> 0

Limit[D[G1[x,y],x],x -> 0]

Limit[D[G1[x,y],x],x -> 0, Assumptions-> 0<y<1]

Plot3D[G1[x,y],{x,0,1},{y,0,1},PlotRange->Full]