Nalezení Greenovy funkce pomocí Fourierovy transformace

Clear["Global`*"]

Jednoduchý úvod a motivace

FourierTransform[1/x^2,x,k]

FourierTransform[D[f[x],x],x,k]

FourierTransform[1,x,k]

FourierTransform[DiracDelta[x-a],x,k]//TrigToExp//Simplify

%/.a->0

Problém

L[z_]=(-D[#,{z,2}])&       (* definice operatoru *)

L[x][f[x]]

FundEq=L[x][G[x,y]]==DiracDelta[x-y]       (* rovnice *)

FourierFundEq=FourierTransform[FundEq,x,k]         (* Fourierova transf. rovnice *)

Sol=Solve[FourierFundEq,FourierTransform[G[x,y],x,k]]       (* nalezení řešení pro transf. rovnici *)

FGF=InverseFourierTransform[FourierTransform[G[x,y],x,k]/.Sol,k,x]

Plot3D[FGF,{x,0,1},{y,0,1}]

Porovnání s naší standardní Greenovou funkcí

GF=GreenFunction[{L[x][u[x]],u[0]==0,u[1]==0},u[x],{x,0,1},y]

Plot3D[GF,{x,0,1},{y,0,1}]

FGF-GF//FullSimplify

Plot3D[FGF-GF,{x,0,1},{y,0,1}]

Nalezení Greenovy funkce pomocí Laplaceovy transformace

LaplaceTransform[x^2,x,k]

LaplaceTransform[D[f[x],x],x,k]

LaplaceTransform[1,x,k]

LaplaceTransform[DiracDelta[x-a],x,k,Assumptions->a≥0]

%/.a->0

LaplaceFundEq=LaplaceTransform[FundEq,x,k,Assumptions->y≥0]         (* Laplaceova transf. rovnice *)

SolL=Solve[LaplaceFundEq,LaplaceTransform[G[x,y],x,k,Assumptions->y≥0]]       (* nalezení řešení pro transf. rovnici *)

LGF=InverseLaplaceTransform[LaplaceTransform[G[x,y],x,k,Assumptions->y≥0]/.SolL,k,x]

Plot3D[LGF/.{G[0,y]->-1/2*y,Derivative[1,0][G][0,y]->1/2},{x,0,1},{y,0,1}]