Níže najdete stručný obsah jednotlivých přednášek v roce 2012/2013 a naskenované poznámky k nim. Pro zájemce uvádím základní literaturu, kterou jsem používal při přípravě přednášky. Ke zkoušce stačí znát uvedená témata v rozsahu, jak byla přednášena letos.
Předneseno v roce 2012/2013
| Datum | Obsah přednášky a cvičení | Literatura | Poznámky ke stažení | ||
| 10.10. | základní pojmy a výsledky teorie grup a příklady: grupa, podgrupa, levé a pravé třídy, Lagrangeova věta normální podgrupa, faktorgrupa, třídy sdružených prvků homomorfismus, izomorfismus, jádro homomorfismu reprezentace jako homomorfismus z G do Aut(V) |
Cornwell, Vol. 1, kap. 2.1-2.6 Litzmann, kap. 1.2 Hamermesh, kap. 1 |
Základní pojmy (pdf, 686 kB) | ||
| 17.10. | přímý (direktní) a polopřímý (semidirektní) součin grup působení grupy na množině Cvičení: dvojnásobné pokrytí grupy SO(3) grupou SU(2) |
Cornwell, Vol. 1, kap. 2.7 Sternberg, kap. 1.2, 1.3 a 1.6 |
Působení a součiny grup (pdf, 265 kB) Pokrytí S0(3) grupou SU(2) (pdf, 444 kB) |
||
| 24.10. | základní pojmy teorie reprezentací grup, ekvivalentní, reducibilní a ireducibilní reprezentace unitární reprezentace, úplná reducibilita |
Cornwell, Vol. 1, kap. 4.1 až 4.4 Sternberg, kap. 2.1 a 2.2 |
Základní pojmy teorie reprezentací grup (pdf, 3286 kB) Unitární reprezentace, úplná reducibilita (pdf, 1262 kB) |
||
| 31.11. | Schurova lemmata a jejich důsledky, relace ortogonality charakter reprezentace, relace ortogonality pro charaktery ireducibilní reprezentace konečných grup |
Cornwell, Vol. 1, kap. 4.5 a 4.6 Sternberg, kap. 2.3, 2.4 a 2.6 |
Schurova lemmata a jejich důsledky (pdf, 1688 kB) Charakter reprezentace (pdf, 855 kB) Ireducibilní reprezentace konečných grup (pdf, 1290 kB) |
||
| 7.11. | jednoznačnost rozkladu, ekvivalence reprezentací se stejnými charaktery Frobeniovo kritérium ireducibility Cvičení: grupa D3h a její tabulka charakterů Cvičení: vektorová a pseudovektorová reprezentace grupy O(3) |
bude doplněno |
Jednoznačnost rozkladu a Frobeniovo kritérium ireducibility (pdf, 753 kB) Tabulka charakterů D3h (pdf, 2385 kB) Vektorová a pseudovektorová reprezentace grupy O(3) (pdf, 765 kB) |
||
| 14.11. | symetrie v kvantové mechanice, degenerace spektra invariantních operátorů maticové elementy a výběrová pravidla pro invariantní operátory Cvičení: symetrizační (projekční) operátory Cvičení: nejjednodušší molekulové orbitaly H3+ jako lineární kombinace atomových 1s orbitalů |
bude doplněno | symetrie v kvantové mechanice
(pdf, 1478 kB) maticové elementy a výběrová pravidla pro invariantní operátory (pdf, 1036 kB) symetrizační operátory (pdf, 1006 kB) molekulové orbitaly H3+ (pdf, 1688 kB) |
||
| 21.11. | subdukované a indukované reprezentace, Frobeniův reciproční teorém Cvičení: rozklad subdukované reprezentace a rozštěpení hladin atomu v krystalu Cvičení: indukované reprezentace grupy C3v |
Cornwell, Vol. 1, kap. 5.5 a 5.7 Inui, kap. 5.1 viz též jiný přístup Sternberg, kap. 3.3 |
subdukované a indukované reprezentace
(pdf, 1972 kB) cvičení (pdf, 949 kB) |
||
| 28.11. | přímý součin reprezentací a jeho rozklad Clebschova-Gordanova řada, Clebschovy-Gordanovy koeficienty ireducibilní tenzorové operátory, Wignerův-Eckartův teorém |
Hamermesh, kap. 5.1, 5.6 a 5.7 Cornwell, Vol 1, kap. 5.3 a 5.4 Elliott, Vol 1, kap. 4.20 Roman, kap. 6.2 |
přímý součin reprezentací
(pdf, 1083 kB) Clebschova-Gordanova řada a koeficienty (pdf, 1073 kB) Wignerův-Eckartův teorém (pdf, 415 kB) |
||
| 5.12. | symetrická (permutační) grupa a její reprezentace Youngovo schéma, standardní Youngova tabulka, háková tabulka charaktery iredubilních reprezentací a jejich maticové vyjádření |
Ma, kap. 6.1 až 6.3 Coleman, par. I až IV viz též Hamermesh, kap. 7 Elliott, Vol 2, kap. 17 Wigner, kap. 13 |
symetrická (permutační) grupa - základní vlastnosti
(pdf, 1360 kB) reprezentace symetrické grupy (pdf, 1728 kB) |
||
| 12.12. | Lieova grupa jako hladká varieta Lieova algebra Lieovy grupy jako levoinvariantní vektorová pole Cvičení: příklady Lieových algeber, především pro grupu GL(n,R) Cvičení: izomorfizmus Lieovy algebry gl(n,R) s grupou matic |
Fecko, kap. 10 a 11 Isham, kap. 4.1 a 4.2 |
Lieova grupa (pdf, 2669 kB) Lieova algebra (pdf, 1437 kB) |
||
| 19.12. | jednoparametrické podgrupy Lieovy grupy a exponenciální zobrazení Cvičení: podgrupy grupy GL(n,R) a jejich algebry Cvičení: pokrytí grup SU(2) a SO(3) exponenciálním zobrazením |
Fecko, kap. 11.3 až 11.5 Isham, kap. 4.2 Fecko, kap. 11.7 |
jednoparametrické podgrupy a exponenciální zobrazení
(pdf (2033 kB) podgrupy GL(n,R) (pdf (969 kB) exponenciální pokrytí grup SU(2) a SO(3) (pdf (937 kB) |
||
| 2.1. | vztah reprezentací Lieových grup a jejich algeber Cvičení: reprezentace grup SU(2) a SO(3) |
Cornwell, Vol. 2, kap. 11, 12 Wigner, kap. 15 |
vztah reprezentací Lieových grup a jejich algeber
(pdf (2705 kB) reprezentace grup SU(2) a SO(3) (pdf (2050 kB) |
||
| 9.1. | další pojmy a věty z teorie Lieových grup a Lieových algeber a jejich reprezentací | bude doplněno | poznámky, zkoušeno jen v rozsahu přednášky (pdf (7160 kB) |
Níže uvedené knihy (případně články) jsou k dispozici ke stažení v "tajném" podadresáři, jehož jméno se dozvíte na přednášce či na požádání (nejlépe zasláním e-mailu na výše uvedenou adresu).
Protože literatury kolem použití grup ve fyzice je opravdu hodně a při přípravě přednášky jsem se nedržel žádné konkrétní učebnice, je opravdu těžké doporučit jednu nebo dvě knihy, ve kterých by bylo vše (řekl bych, že taková ani není, neboť např. knihy s geometrickým přístupem k Lieovým grupám obvykle neobsahují detaily kolem konečných grup a jejich aplikace ve fyzice a naopak). Prolistujte tedy (alespoň virtuálně) níže uvedené knihy a najděte si ty svoje. Osobně považuji za dobré přehledy knihy od Cornwella či Elliotta a Dawbera. Pro geometrický přístup k Lieovým grupám doporučuji Ishama, i když zde (na rozdíl od Fecka) chybí teorie reprezentací.
Literatura použitá při přípravě přednášky
[1] Litzman, Otto a Sekanina, Milan:
Užití grup ve fyzice, Academia, Praha 1982
[2] Hamermesh, Morton:
Group Theory and its Application to Physical Problems, Addison-Wesley 1962
[3] Sternberg, Shlomo:
Group Theory and Physics, Cambridge, 1994
[4] Fecko, Marián:
Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, Bratislava 2004, zvláště kap. 10-12
[5] Isham, Chris J.:
Modern Differential Geometry for Physicists, 2nd Ed, World Scientific, Singapore 1999, zvláště kap. 4
[6] Cornwell, J. F.:
Group Theory in Physics, Volumes I and II, Academic Press, London 1984
[7] Atkins, P.W., Child, M.S. a Phillips, C.S.G.:
Tables of Group Theory, Springer, Berlin, 1994
[8] Bishop, David M.:
Group Theory and Chemistry, Dover, New York, 1993
[9] Cotton, F. Albert:
Chemical Applications of Group Theory, 3rd Ed, John Wiley & Sons, New York 1990
[10] Elliott, J. P., Dawber, P. G.:
Symmetry in Physics, Volumes 1 and 2, MacMillan, London 1979
[11] Roman, Paul:
Advanced Quantum Theory, Addison-Wesley, Reading 1965, zvláště kap. 6
[12] Wigner, Eugene P.:
Group Theory, Academic Press, New York 1959
[13] Inui, T., Tanabe, Y., Onodera, Y.:
Group Theory and Its Application in Physics, Springer, Berlin 1996
[14] Ma, Zhong-Qi:
Group Theory for Physicists, World Scientific, New Jersey 2007
[15] Coleman, A. J.:
The Symmetric Group Made Easy in Advances in Quantum Chemistry 4 (1968) 83
[16] Wybourne, Brian G.:
Classical Groups for Physicists, John Wiley & Sons, New York 1974
[17] Greiner, Walter a Müller, Berndt:
Quantum Mechanics, Symmetries, 2nd Ed, Springer, Berlin, 1994
Zadání úloh pro zimní semestr 2016/2017
Lieovy grupy (je nutné získat alespoň 15 bodů):
Základy teorie konečných a Lieových grup
Grupa a její podgrupa, sdružené prvky grupy, homomorfizmus a izomorfizmus grup, působení grupy na množině, Lieova grupa a její Lieova algebra (geometrický a maticový přístup), jednoparametrické podgrupy Lieovy grupy a exponenciální zobrazení, dvojnásobné pokrytí grupy SO(3) grupou SU(2)
Základy teorie reprezentací grup a algeber
Reprezentace jako působení grup na lineárních prostorech, invariantní podprostory, ekvivalentní, unitární, ireducibilní a (úplně) reducibilní reprezentace a základní tvrzení o nich pro konečné a kompaktní Lieovy grupy (Schurovo lemma, relace ortogonality, charaktery a jejich vlastnosti), vztah reprezentací Lieových grup a jejich algeber, subdukované a indukované reprezentace, základní vlastnosti a reprezentace symetrické grupy, prostá a poloprostá Lieova grupa a algebra, Casimirův operátor, Racahův teorém
Aplikace v kvantové teorii
Klasifikace vlastních čísel a vlastních funkcí operátoru podle ireducibilních reprezentací grupy symetrie tohoto operátoru, systémy složené z podsystémů a rozklad přímého součinu ireducibilních reprezentací (Clebschovy-Gordanovy řady a koeficienty), výpočet maticových elementů pomocí metod teorie reprezentací grup (ireducibilní tenzorové operátory a obecný Wignerův-Eckartův teorém, výběrová pravidla)