Příklad pro zkoušku z předmětu MAPLE PRO FYZIKY

Spočtěte kapacitu deskového kondenzátoru s vzájemně rovnoběžnými čtvercovými deskami o straně a = 1 a nezanedbatelnou vzdáleností desek d = 1 v jednotkách, v nichž ϵ_{0} = 1.

Rozložte neznámou funkci σ(x, y) popisující nábojovou hustotu na jednom z čtverečků do báze funkcí respektujícících symetrie úlohy (x ↔ y, x ↔ −x), např [1, x^{2} + y^{2}, x^{4} + y^{4}, x^{2}y^{2}].

σ(x, y) = ∑_{k} a_{k}σ_{k}(x, y)

Na druhém čtverečku předpokládáme kvůli symetrii nábojovou hustotu −σ(x, y). Bázi nábojových hustot můžete generovat např. kódem

Nr:=2; # 2*Nr je nejvyssi zahrnuty rad Bf:=convert( –seq(

seq(xˆ (2*i)*yˆ (2*j-2*i)+yˆ (2*i)*xˆ (2*j-2*i), i=0..j), j=0..Nr)˝ ,list);

Nk:=nops(Bf); # Pocet bazovych funkci az do radu Nr

Protože je problém lineární, můžeme jej chápat tak, že každá z bázových funkcí vytváří nějaký potenciál a my pak vezmeme takovou lineání kombinaci těchto potenciálů.

Φ(x, y, z) = ∑_{k} a_{k}ϕ_{k}(x, y, z)

Aby tento součet, tedy výsledný potenciál Φ(x, y, z), byl na povrchu jednoho čtverečku ( z = d/2) konstantní a roven +U/2, zatímco na povrchu druhého čtverečku ( z = −d/2) měl hodnotu −U/2. Protože volíme opačné nábojové hustoty, máme zaručen na druhém čtverečku i opačný potenciál (v nekonečnu samozřejmě nulový). Proto stačí splnit rovnici Φ(x ∈< −1/2, 1/2 >, y ∈< −1/2, 1/2 >, z = d/2) = U/2

Protože bodů čtverce, kde musí být tato rovnice splněna je nekonečně mnoho, vybereme konečnou representativní podmnožinu, např. ekvidistantí síť bodů v trojúhelníku ([0,0], [1/2,0], [1/2,1/2]), viz následující kód:

N:=4; # Pocet rad bodu Body:=[seq( seq( [i/2/N,j/2/N],j=0..i),i=0..N)]; Nb:=nops(Body); # Pocet bodu v N radach

Budeme uvažovat případ, kdy počet bodů v nichž chceme slpnit rovnice je větší než počet neznámých, tedy koeficientů v rozvoji nábojové hustoty do bázových funcí. Takový problém lze například řešit metodou nejmenších čtverců. V podstatě se snažíme vyřešit úlohu Ax = b, kde nečtvercová matice A je potenciál od k-té bázové funkce v l-témn bodě:

ϕ_{k}(x_{l}, y_{l}, z = d/2) = \frac{1}{4π} ∫ dx̄dȳ σ_{k}(x, y) [\frac{1}{\sqrt{(x_{l} − x̄)^{2} + (y_{l} − ȳ)^{2} + ϵ^{2}}} − \frac{1}{\sqrt{(x_{l} − x̄)^{2} + (y_{l} − ȳ)^{2} + d^{2}}} ]

S pomocí linalg[leastsqrs] nalezněte hledané koeficinety a poté nakreslete (plot3d) rozložení náboje na elektrodě.

Při numerické integraci je lepší počítat hodnotu potenciálu kousíček nad povrchem elektrody, odsud to ϵ pod odmocninou.

Zatímco první integraci lze zvládnout analyticky, druhou budete muste počítat numericky. Zde se vyplatí mít, řekněme, Digits=13, ale počítat integrály jen na 7 míst pomocí konstrukce evalf(int(...,x=-1/2..1/2,7)), která používá zvláštní, třetí parametr funkce int.