\documentclass[a4]{report}
\usepackage{czech}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\begin{document}
\centerline{\bf P��klad pro zkou�ku z p�edm�tu MAPLE PRO FYZIKY}
\vskip 1cm
Spo�t�te kapacitu deskov�ho kondenz�toru s vz�jemn� rovnob�n�mi �tvercov�mi deskami
o stran� $a=1$ a nezanedbatelnou vzd�lenost� desek $d=1$ v jednotk�ch, v nich� $\epsilon_0 = 1$.

Rozlo�te nezn�mou funkci $\sigma(x,y)$ popisuj�c� n�bojovou hustotu na jednom z �tvere�k� do b�ze funkc� respektuj�c�c�ch symetrie �lohy ($x \leftrightarrow y, x \leftrightarrow -x$), nap� [$1,~x^2+y^2,~x^4+y^4,~x^2y^2$].

$$\sigma(x,y) = \sum_k a_k \sigma_k(x,y)$$

Na druh�m �tvere�ku p�edpokl�d�me kv�li symetrii n�bojovou hustotu $-\sigma(x,y)$. B�zi n�bojov�ch hustot m��ete generovat nap�. k�dem

\begin{verbatim}
Nr:=2;        #  2*Nr je nejvyssi zahrnuty rad
Bf:=convert( {seq(
    seq(x^(2*i)*y^(2*j-2*i)+y^(2*i)*x^(2*j-2*i),
             i=0..j), j=0..Nr)},list);
Nk:=nops(Bf); # Pocet bazovych funkci az do radu Nr
\end{verbatim}

Proto�e je probl�m line�rn�, m��eme jej ch�pat tak, �e ka�d� z b�zov�ch funkc� vytv���
n�jak� potenci�l a my pak vezmeme takovou line�n� kombinaci t�chto potenci�l�.

$$\Phi(x,y,z) = \sum_k a_k \phi_k(x,y,z)  $$

Aby tento sou�et, tedy v�sledn� potenci�l $\Phi(x,y,z)$, byl na povrchu jednoho �tvere�ku ( $z=d/2$) konstantn� a roven $+U/2$, zat�mco na povrchu druh�ho �tvere�ku ( $z=-d/2$) m�l hodnotu $-U/2$. Proto�e vol�me opa�n� n�bojov� hustoty, m�me zaru�en na druh�m �tvere�ku i opa�n� potenci�l (v nekone�nu samoz�ejm� nulov�). Proto sta�� splnit rovnici $\Phi(x\in <-1/2,1/2>,y\in <-1/2,1/2>,z=d/2) = U/2$

Proto�e bod� �tverce, kde mus� b�t tato rovnice spln�na je nekone�n� mnoho,
vybereme kone�nou representativn� podmno�inu, nap�. ekvidistant� s�\v t bod� v troj�heln�ku
([0,0], [1/2,0], [1/2,1/2]), viz n�sleduj�c� k�d:

\begin{verbatim}
N:=4;           # Pocet rad bodu
Body:=[seq( seq( [i/2/N,j/2/N],j=0..i),i=0..N)];
Nb:=nops(Body); # Pocet bodu v N radach
\end{verbatim}

Budeme uva�ovat p��pad, kdy po�et bod� v nich� chceme slpnit rovnice je
v�t�� ne� po�et nezn�m�ch, tedy koeficient� v rozvoji n�bojov� hustoty
do b�zov�ch func�. Takov� probl�m lze nap��klad �e�it metodou nejmen��ch �tverc�.
V podstat� se sna��me vy�e�it �lohu $Ax=b$, kde  ne�tvercov� matice $A$
je potenci�l od k-t� b�zov� funkce v l-t�mn bod�:

$$\phi_k(x_l,y_l,z=d/2)={1 \over 4 \pi}\int d\bar x d\bar y~\sigma_k(x,y)
\left [ {1\over \sqrt{(x_l-\bar x)^2+(y_l-\bar y)^2+\epsilon^2}}- {1\over \sqrt{(x_l-\bar x)^2+(y_l-\bar y)^2+d^2} } \right ]$$

S pomoc� {\tt linalg[leastsqrs]} nalezn�te hledan� koeficinety a pot� nakreslete
(plot3d) rozlo�en� n�boje na elektrod�.

P�i numerick� integraci je lep�� po��tat hodnotu potenci�lu kous��ek nad povrchem
elektrody, odsud to $\epsilon$ pod odmocninou.

Zat�mco prvn� integraci lze zvl�dnout analyticky, druhou budete muste po��tat numericky.
Zde se vyplat� m�t, �ekn�me, {\tt Digits=13}, ale po��tat integr�ly jen na
7 m�st pomoc� konstrukce {\tt evalf(int(...,x=-1/2..1/2,7))}, kter� pou��v�
zvl�tn�, t�et� parametr funkce {\tt int}.




\end{document}
