Materiály ke stáhnutí:

Vektorové fibrované prostory

poznámky: VFP - Vektorové fibrované prostory [20260226 pdf]

Vektorové fibrované prostory 1 – definice; kovariantní derivace

19.2.2026

Fibrované prostory, příklad odlišných bundlů. Kovariantní derivace na vektorových bundlech, rozdíl kovariantních derivací, vektorový potenciál. Antisymetrické formy s hodnotami ve vektorovém bundlu, kovariantní vnější derivace.

záznam: [2021 mp4 596MB 123min]

Vektorové fibrované prostory 2 – křivost

19.&26.2.2026

Operátor křivosti, tenzor křivosti, křivost jako druhá kovariantní vnější derivace. Tenzor křivosti z vektorového potenciálu.

záznam: [2021 mp4 489MB 112min]

Vektorové fibrované prostory 3 – vlastnosti křivosti

26.2.2026

Bianchiho identity, zákon zachování toku. Geometrická interpretace křivosti.

záznam: [mp4 432MB 57min]

Dotykové fibrované prostory

poznámky: DFP - Dotykové fibrované prostory [20260308 pdf]

poznámky: DFPx - Kovariantní derivací na TM [20260308 pdf] (opakování, přehled)

Dotykové fibrované prostory 1 – definice, tenzor-značné formy

26.2.2026

Definice, dotyková (soldering) forma. Příklad tečných tenzor-značných form. Torze jako kovariantní vnější derivace jednotky. Riemannův tenzor.

záznam: [mp4 246MB 30min]

Dotykové fibrované prostory 2 – dotykový vektorový prostor, SO-konexe

5.3.2026

Příklad dotykového vektorového prostoru s kinematickou metrikou. Trivializace v dotykovém prostoru a n-ády v tečném prostoru. SO-konexe. Indukovaná kovariantní derivace na tečném bundlu. Souřadnicové konexe a potenciály. Torze, 2-forma křivosti. Levi-Civitova kovariantní derivace. Lokální ortogonální transformace.

záznam: [mp4 681MB 105min]

Symplektická geometrie

poznámky: SmplG - Geometrie fázového prostoru [20260312 pdf]

poznámky: GKTP - Geometrie kotečného prostoru [20260328 pdf]

poznámky: KDKTP - Kovariantní derivace na TP [20260312 pdf] (nepřednášeno)

Symplektická geometrie 1 – fázový prostor; systémy s vazbami

12.3.2026

Symplektický prostor, symplektická forma, hamiltonovské pole, Poissonovy závory, kanonické souřadnice. Systémy s vazbami, vazby druhého druhu. Vazby prvního druhu, kalibrační symetrie, redukovaný fázový prostor, kalibrační podmínky.

záznam: [mp4 1.08GB 126min]

Symplektická geometrie 2 – fázový prostor jako kotečný bundl

19.3.2026

Fázový prostor jako kotečný bundl konfiguračního prostoru. Lagrangeovský a hamiltonovský formalismus. Transformace souřadnic na fázovém prostoru. Kovariantní rozštěpení objektů pomocí kovariantní derivace z konfiguračního prostoru, závislost na volbě kovariantní derivace. Konfigurační tenzory na fázovém prostoru, komutační relace.

záznam: [mp4 1.31GB 123min]

Symplektická geometrie 3 – indukovaná derivace na kotečném bundlu

26.3.2026

Kovariantní rozštěpení vektorů a kovektorů, Lieova závorka. Bundl konfiguračních tenzorů na fázovém prostoru a indukovaná kovariantní derivace na nich. Vlastnosti derivace, křivost, vnější derivace. Kovariantní zápis symplektické formy.

záznam: [mp4 540MB 65min]

Lieovy grupy a algebry

poznámky: LGAs - Lieovy grupy a algebry - přehled [20260328 pdf]

poznámky: OrtgGAR - Ortogonalni grupa, algebra, reprezentace [20260328 pdf]

Lieovy grupy a algebry 1 – přehled

26.3.2026

Lieovy grupy. Liova algebra Lieovy grupy, exponenciální zobrazení, adjoint zobrazení, prosté a poloprosté grupy a algebry. Reprezentace na vektorových prostorech, generátor reprezentace, ireducibilní reprezentace, Casimirovy operátory, definiční reprezentace, tenzorová realizace Lieovy algebry.

záznam: [mp4 510MB 62min]

Lieovy grupy a algebry 2 – ortogonální grupa

2.4.2026

Definiční reprezentace. Ortogonální grupa, realizace pomocí antisymetrických tenzorů, komutační relace, vlastnosti. Grupa rotací, algebra so(3), realizace pomocí vektorů, Casimirův operátor, klasifikace reprezentací. Vektorová a bivektorová reprezentace. Lorentzova grupa, rotace a boosty, rozklad na dvě sl(2,ℂ) podalgebry.

záznam: [mp4 923MB 123min]

Lieovy grupy a algebry 3 – reprezentace ortogonální grupy

9.4.2026

Casimirovy operátory Lorentzovy grupy. Vektorová a adjoint reprezentace. Selfduaální a antiselfduální bivektory. Bezestopé symetrické tenzory a reprezentace na nich.

záznam: [mp4 541MB 73min]

Komplexní vektorové prostory

poznámky: KVP - Komplexní vektorové prostory [20260415 pdf]

Komplexní vektorové prostory 1 – struktura sdružených prostorů

9.4.2026

Komplexní vektorový prostor a sdružený vektorový prostor. Antilineární operace, komplexní a hermitovské sdružení, sdružení mezi sdruženými prostory.

záznam: [mp4 534MB 45min]

Komplexní vektorové prostory 2 – zreálnění; ad-reprezentace typu ℂ

16.4.2026

Zreálnění komplexního vektorového prostoru, komplexifikace, komplexní struktura a její vlastní podprostory. Prosté Lieovy algebry, adjoint reprezentace reálného a komplexního typu, centralizér a metriky pro případ komplexního typu.

záznam: [mp4 406MB 46min]

Spinory

Spinory 1a – SU(2) spinory (ekvivalence su(2) a so(3) algeber)

16.4.2026

SU(2) spinory, skalární součin a antisymetrická metrika. Definiční reprezentace SU(2) grupy. su(2) algebra a její ekvivalence s so(3) algebrou. Isomorfismus skrze σ-matice, součin σ-matic. Spinorové (poločíselné) reprezenace so(3).

záznam: [mp4 653MB 84min]

Spinory 1b – SU(2) spinory (volba báze; grupy SU(2) a SO(3))

23.4.2026

SU(2) spinory, volba bází, σ-matice. Struktura grup SO(3) a SU(2) a jejich explicitní reprezentace.

záznam: [mp4 490MB 57min]

Spinory 1 – SU(2) spinory (obě části dohromady)

16.&23.4.2026

záznam: [mp4 1.11GB 140min]

Spinory 2 – Cliffordovy algebry

23.4.2026

Cliffordovy algebry, universální algebra, vztah k vnější algebře, Cliffordovo násobení, top prvek a centrum.

záznam: [mp4 562MB 65min]

Spinory 3a – Diracovy spinory (zavedení, proplétače)

23.4.2026

Reprezentace Cliffordových algeber, spinory a polospinory, SU(2) spinory, Diracovy spinory, univerzálnost spinorů, stopy a determinant. Struktury na Diracových spinorech, proplétače.

záznam: [mp4 980MB 114min]

Spinory 3b – Diracovy spinory (reprezentace Lorentzovy grupy)

30.4.2026

Diracovy spinory. Reprezentace Lorentzovy grupy na Diracových spinorech.

záznam: [mp4 320MB 36min]

Spinory 3 – Diracovy spinory (obě části dohromady)

23.&30.4.2026

záznam: [mp4 1.27GB 150min]

Spinory 4a – SL(2,ℂ) spinory (odvození z Diracových spinorů)

30.4.2026

SL(2,ℂ) spinory. Vztah k Diracovým spinorům, vlastnosti dotykové formy, vtzah k SU(2) spinorům.

záznam: [mp4 342MB 44min]

Spinory 5a – Newman–Penroseův formalism (nulové tetrády)

30.4.2026

Newman–Penroseův formalism, nulové tetrády, algebraická klasifikace křivosti.

záznam: [mp4 377MB 40min]

Spinory 5b – Newman–Penroseův formalism (spinové koeficienty)

7.5.2026

Newman–Penroseův formalism, spinové koeficienty, Ricciho identity, Bianchiho identity, vyjádření pomocí SL(2,ℂ) spinorů.

záznam: [mp4 1.01GB 130min]

Spinory 4b –SL(2,ℂ) spinory (symetrické spinory, rozštěpení tenzorů)

14.5.2026

SL(2,ℂ) spinory, symetrické spinory a jejich separovatelnost, rozštěpení antisymetrického bitenzoru, rozštěpení tenzorů se symetrií tenzoru křivosti.

záznam: [mp4 1.01GB 130min]

Literatura/Literature:

• M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, 2004.
• C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.
• T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.
• M. Nakahara: Geometry, Topology and Physics, Taylor&Francis, 2003.
• Ch. Nash, S. Sen: Topology and Geometry for Physicists, Dover Publ., 2011.
• J. A. de Azcárraga, J. M. Izquierdo: Lie Groups, Lie Algebras, Cohomology and some Applications in Physics, Cambridge Univ. Press, 1995.
• Ch. J. Isham: Moddern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.
• E. W. Mielke: Geometrodynamics of Gauge Fields, Springer, 2017.
• C. W. Misner, K. S. Thorne a J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.
• S. Kobayashi a K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.
• M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.
• V. I. Arnold: Mathematical methods of classical mechanics, Graduate Texts in Math. No. 60, Springer-Verlag, 1978.
• R. Abraham a J. E. Marsden: Foundations of Mechanics, Addison-Wesley, 1985.
• I. B. Benn a R. W. Tucker: An introduction to spinors and geometry with applications in physics, Adam Hilger, 1990.
• J. Vaz, Jr. a R. da. Rocha, Jr.: An introduction to Clifford algebras and spinors, Oxford Univ. Press, 2016.
• D. J. H. Garling: Clifford Algebras - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 2009.
• P. Budinich a A. Trautman: The spinorial chessboard, Springer, 1988.
• R. Penrose a W. Rindler: Spinors and space-time, Cambridge Univ. Press, 1999.
• P. O'Donnell: 2-Spinors in General Relativity, World Scientific, 2003.
• R. U. Sexl a H. K. Urbantke: Relativity, groups, particles - special relativity and relativistic symmetry in field and particle physics Springer, 2001.