Kvantová mechanika I - NTMF066 (ZS 2020-21)

Přednáška letos probíhá prostřednictvím ZOOM KONFERENCE: (ID: 982 3495 6805). Heslo je kód předmětu, tj. NTMF066. Odkaz na archiv záznamů přednášek najdete v SISu. Prostřednictvím této zoom konference mohou probíhat i online zkoušky, ale budu rád když se přijdete vyzkoušet osobně.

Aktuality:

(20. 1. 2021) Dokončil jsem opravenou verzi vzorového řešení písemky. Kromě opravených překlepů tam jsou tipy na alternativní způsoby řešení a poznámky k vašim nápadům a chybám. Jinak jsem snad opravil veškeré materiály, které jste mi dodali na zápočty. Veškeré vaše opravené řešení najdete na své osobní stránce k domácím úkolům z předmětu a je tam rovněž tabulka získaných bodů.

(9. 1. 2021) Aktualizoval jsem sylabus níže, takže se podle něj můžete orientovat při přípravě na zkoušku. Pokud nebudete mít odpuštěno počítání u zkoušky doporučuji se připravovat podle cvičení, domácích úkolů a archivu úloh na stránce cvičení k přednášce (DÚ a písemky z minulých let). Vypsal jsem prezenční zkoušky na středy (kapacita 8 lidí) a online zoom zkoušky na úterky (kapacita 2 lidi). Při online zkoušce bych vás poprosil, abyste byli celí v zorném poli kamery při přípravě a na konci přípravy mi byli schopni poslat přípravu ve formě pdf. Na přípravu bych vám dal cca 90 minut (ale budu brát ohledy na Vaše tempo) a pak si budeme povídat. V případě výpadku spojení se domluvíme na dalším postupu individuálně, ale doufejme, že na to nedojde. Zkouška bude probíhat pomocí stejného ZOOM linku jako přednáška.

(8. 1. 2021) Děkuji za odevzdané písemky. Opravené Vám předám v nejbližších dnech stejným způsobem jako domácí úlohy. Můžete si prohlédnout vzorové řešení tady. Až opravím řešení všem ještě zveřejním doplněnou verzi reflektující Vaše postupy. Na těchto stránkách během zítřka doplním materiály ke zkoušce a zveřejním podmínky online zkoušení.

Zde je odkaz na kompletní stránky z předchozího běhu 2018.

Zde je odkaz na staré stránky z běhu 2016-17.

Na cvičení k přednášce je možno získat 50 bodů za domácí úkoly a 50 bodů za test. Pro získání zápočtu potřebuje student 50 bodů. Při zisku 75 a více bodů odpouštím příklad u zkoušky. Za zisk alespoň 90 bodů bude zvláštní prémie (v zimním semestru sladkosti s fyzikální tématikou). Získání dodatečných bodů např. v případě dlouhodobé nepřítomnosti viz stránka cvičení.

Řešení pište prosím čitelně a stručně zdůvodněte postup. Můžete mi odevzdat osobně na cvičení nebo v mojí pracovně v 10. patře (pokud nejsem přítomen tak na sekretariátě UTF). Alternativně mi můžete řešení poslat e-mailem v .pdf nebo .jpg formátu, ale prosím neposílejte soubory větší než 1MB e-mailem, ale použijte radši odkaz na uložiště. Úkoly odevzdané příliš po termínu (mám jistou toleranci, ale moc ji prosím nepřepínejte) se počítají do zápočtu, ale ne do soutěže o prémii či odpuštění zápočtové písemky.  

Doporučené doplňkové přednášky:

Interpretace QM, Pavel Krtouš NTMF036 (ZS, jednou za dva roky), Teorie grup a její aplikace ve fyzice, Karel Houfek NTMF061 (ZS, každoročně).

Podrobný sylabus přednášky:

Základní literatura přibližně v rozsahu přednášky je [1]. V sylabu v závorce je uvedena další doporučená literatura pro doplnění dané látky a odkaz na kopii poznámek. Některá témata jsou uvedena pro plynulost výklad u doplnění dané látky nebo jsem je nestihl odpřednášet a nebudu je přímo zkoušet. Tato témata jsou v sylabu vyznačena šedě. Sytá černá barva označuje zkoušená témata. Jinak jsou videa celé přednášky k dispozici v online archivu s odkazem uvedeným v SISu.

1. Úvodní poznámky (Ballentine [4] - Introduction) - Poznámky

Základní aspekty kvantového chování: diskrétní charakter, interference a difrakce, statistický charakter, vliv měření na stav systému. Modelové příklady kvantového chování: Stern-Gerlachův experiment a interference na dvouštěrbině.

2. Formalismus kvantové teorie I (Sakurai [3] kapitola 1 nebo Ballantine [4] kapitola 1, nebo Formánek [2] dodatek A,B a kapitola 1) - Poznámky

Lineární vektorové prostory (LVP), skalární součin, Rieszův teorém a Diracova notace, lineární operátory, sdružený operátor, projektory. Reprezentace vektorů a operátorů v konečně dimenzionálních prostorech. Vlastní čísla a vlastní vektory matic.

Základní postuláty kvantové mechaniky. Příklad aplikace na částici se spinem 1/2 (Stern-Gerlachův experiment) - Poznámky

Přechod k jiné bázi v LVP, unitární transformace.

Nekompatibilní pozorovatelné a relace neurčitosti.

Komutující operátory a jejich vlastní vektory, úplný systém komutujících operátorů. 

Skládání systémů. Direktní součet a direktní součin Hilbertových prostorů. Příklady: kvantové tečky, částice se spinem, více částic.

Časový vývoj stavu - Schrodingerova rovnice. Stacionární stavy. Integrály pohybu.

3. Formalismus kvantové teorie II (Sakurai [3] kapitola I nebo Ballentine [4] kapitola 1, nebo Formánek [2] dodatek A,B a kapitola 1) - Poznámky

Nekonečně-dimenzionální LVP, Hilbertův prostor. Separabilní prostor a báze. Duální prostor. Diracova delta-funkce.

Operátory v Hilbertově prostoru. Samosdružené operátory, normální operátory. Spektrum a spektrální teorém. - Poznámky

"Rigged Hilbert space". Baze v Hilbertově prostoru normalizovaná k delta-funkci a spektrální rozklad. Komutující operátory a spektrální rozklad.

Spojité spektrum a měření. Rozdělovací funkce jako hustota pravděpodobnosti. Statistické veličiny (momenty rozdělovací funkce).

4. Příklady jednoduchých systémů (Ballentine [4] kapitola 4,6, Formánek [2] kapitola 2) - Poznámky

Volná částice v 1D. Poloha a hybnost, x a p reprezentace. Energie. Částice v konstantním elektrickém poli.

Lineární harmonický oscilátor v 1D, stacionární stavy. Algebraické řešení na základě komutačních relací. Řešení v x a p reprezentaci.

Příklady dalších analyticky řešitelných modelů (potenciálů), obecné vlastnosti stacionárních stavů v 1D potenciálech, potenciálová jáma, oscilační věta.

5. Částice ve 3D (Ballentine [4] 7.1.-7.3. a Formánek [2] kapitola 2) - Poznámky

Volná částice. Poloha a hybnost.

Kvantová teorie momentu hybnosti. Obecné vlastnosti plynoucí z komutačních relací. Orbitální moment hybnosti. Sférické harmoniky.

Stacionární stavy s definovaným momentem hybnosti v p a x reprezentaci, radiální Schrodingerova rovnice, sférické cylindrické funkce, normování k delta-funkci.

Stacionární stavy částice v Coulombickém poli. Spektrum částice a vlnové funkce.

Harmonický oscilátor ve 3D a izotropní harmonický oscilátor. Obecně o separaci proměnných a redukci vícedimenzionálních úloh do dimenzí nižších.

Redukce dvoučásticového systému na částici ve vnějším poli a pohyb těžiště.

6. Kvantová statistika, matice hustoty (Formánek, Ballentine) POZNÁMKY

Popis smíšeného stavu pomocí statistického souboru a matice hustoty. Popis měření pomocí matice hustoty. Pravděpodobnosti, střední hodnoty a stav po měření.

Vlastnosti matice hustoty. Stopa, čistý stav, časový vývoj. Wignerova reprezentace.

Matice hustoty pro složený systém. Redukovaná matice hustoty

7. Více o časovém vývoji ve kvantové mechanice (Formánek [2] kapitola 3,4, Ballentine 4.8., Cohen-Tannoudji [5]) - Poznámky

          Rovnice kontinuity a tok hustoty pravděpodobnosti.

Evoluční operátor a Greenův operátor. Souvislost s rezolventou a s Greenovou funkcí časové Schrodingerovy rovnice. Retardovaný a advancovaný Greenův operátor.

Gaussovský vlnový balík a jeho časový vývoj.

Časový vývoj ve Schrodingerově a Heisenbergově obraze. Ehrenfestův teorém. Aplikace na Gaussovský vlnový balík.

Propagátor a metoda Feynmanovy funkcionální integrace. 

8. Částice v magnetickém poli (Ballentine [4] kapitola 11) - Poznámky

Lagrangeovský a Hamiltonovský popis pohybu nabité částice v magnetickém poli v klasické fyzice, kvantový popis a Schrodingerova rovnice pro částici v magnetickém poli.

Kvantování pohybu částice v konstantním magnetickém poli. Spektrum Hamiltoniánu a Landauovy stavy. Jejich interpretace.

Kalibrační transformace a invariance Schrodingerovy rovnice. Invariance dalších veličin, hustota proudu pravděpodobnosti v magnetickém poli.

Aharonovův-Bohmův jev a jeho interpretace.

Částice se spinem v magnetickém poli, Pauliho rovnice. Atom ve slabém magnetickém poli. Zeemanův jev.

Doporučená literatura

Doporučuji rovněž stánky doc. Pavla Cejnara, který učil Kvantovou mechaniku v loňském roce, především sbírku vzorců a sérii popularizačních článků "Kvantové hlavolamy" v časopise Vesmír.

[1] P. Cejnar: A Condensed Course of Quantum Mechanics (Karolinum 2013).

[2] J. Formánek: Úvod do kvantové teorie.

[3] J.J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley, Reading, 1985, 1994)

[4] L.E. Ballentine: Quantum Mechanics. A Modern Development (World Scientific, Singapore, 1998)

[5] Cohen-Tannoudji, Diu, Laloe: Quantum Mechanics (Wiley 2006)