Lorentzovy transformace
Vztahy mezi dvěmi inerciálními soustavami souřadnic jsou lineární vztahy, které zachovávají tvar invariantu s2 – jejich nalezení se tak stává jednoduchou algebraickou úlohou.
My zde však využijeme analogie s prací žížaláka Alberta. Ten odvodil, že lineární transformace zachovávající vzdálenost nejsou nic jiného než rotační transformace s koeficienty danými goniometrickými funkcemi úhlu otočení. Obdobné transformační vztahy zachovávající relativistický invariant jsou tzv. Lorentzovy transformace, či též boost nebo pseudorotace. Tato tansformace má velice podobný tvar jako rotace, pouze s koeficienty danými místo goniometrcikými funkcemi cos α a sin α úhlu α hypergoniometrickými funkcemi ch β a sh β rapidity (též pseudoúhlu) β.
Nakonec ještě parametrizujeme tyto vztahy rychlostí v (počátku) jedné soustavy vůči soustavě druhé. Ta je s rapiditou svázána vztahem v/c=thβ (jelikož pro x'=0 je v=x/t). Užitím vztahů mezi hypegoniometrickými funkcemi analogickými se vztahy pro goniometrické funkce dostaneme známý tvar Lorentzových transformací mezi dvěmi sadami inerciálních souřadnic.