Geometrické metody teoretické fyziky I

NTMF059

prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D.

LS: 2/2 Zk Z

Anotace:

Tenzorový počet. Diferencovatelné variety a tečné prostory. Zobrazení variet, difeomorfismy, Lieova derivace. Vnější kalkulus. Riemannova a pseudoriemannova geometrie. Kovariantní derivace, paralelní přenos, geodetiky. Torze a křivost, prostor konexí. Metrické derivace, Levi-Civitova konexe. Vztah Lieovy, vnější a kovariantní derivace. Podvariety, integrabilita, Frobeniova věta. Integrování na varietách, hustoty, integrální věty.

Přednáška je určena zejména pro zájemce o teoretickou fyziku v závěru bakalářského či začátkem magisterského studia.

Na přednášku obvykle navazuje předmět NTMF060 – Geometrické metody teoretické fyziky II. V akademickém roce 2022/23 však nebude tento předmět výjimečně vyučován.

Konání přednášky v ZS 2022:

Přednáška a cvičení jsou rozvrženy v úterý odpoledne od 14:50 do 18:00 v posluchárně T1.

Přednáška i cvičení probíhají prezenčně.

Záznamy přednášek (letošních či z minulých let) jsou k dispozici na zvláštní stránce, jejíž adresa byla rozeslána zapsaným studentům.

Pokud má někdo zájem sledovat záznamy přednášek bez zápisu, ať se obrátí emailem na přednášejícího.

Přednášky probíhají v češtině. K dispozici jsou též záznamy přednášek v angličtině.

Zkouška a konzultace mohou probíhat jak v češtině, tak v angličtině.

Zápočet

K udělení zápočtu bude potřeba rozumná účast na cvičení a odevzdání řešení zápočtového problému.

Zápočtový problém bude zveřejněn v druhé polovině semestru. Termín odevzdání řešení je konec zkouškového období zimního semestru.

Sylabus:

Tenzorový počet
vektorový prostor a jeho duál, tenzorový součin, multi-lineární zobrazení tenzorů, transformace komponent, značení tenzorů
Diferencovatelné variety
základy topologie, diferencovatelná struktura, tečné prostory, vektorová a tenzorová pole, Lieovy závorky
Zobrazení variet a Lieova derivace
zobrazení variet, indukované zobrazení, difeomorfismy, tok, Lieova derivace
Vnější kalkulus
vnější součin, vnější derivování, exaktní a uzavřené formy
Riemannova a pseudoriemannova geometrie
metrika, signatura metriky, délka křivky a vzdálenost, Hodgeův duál, Levi-Civitův tenzor, koderivace
Kovariantní derivace
paralelní přenos, kovariantní derivování, kovariantní diferenciál, geodetiky, normální souřadnice; tenzor torze, Riemannův tenzor, komutátor kovariantních derivací pro skalár a obecný tenzor, Bianchiho identity, Ricciho tenzor
Prostor kovariantních derivací
pseudoderivace, rozdíl dvou konexí a rozdílový tenzor, souřadnicová deriace, souřadnice kovariantní derivace, n-ádová derivace, Ricciho (spinové) koeficienty, metrické derivace, tenzor kontorze
Levi-Civitova kovariantní derivace
jednoznačnost, Christoffelovy symboly, Cartanovy rovnice struktury, symetrie tenzoru křivosti, ireducibilní části Riemanova tenzoru, Weylův tenzor, skalární křivost, Einsteinův tenzor
Vztah Lieovy, vnější a kovariantní derivace
vyjádření Lieovy a vnější derivace; Killingovy vektory a symetrie
Podvariety a distribuce
vnořené a vložené podvariety, přizpůsobené souřadnice, tečný a normálový prostor; distribuce, podmínky integrability, Frobeniova věta
Integrování na varietách
integrovatelné hustoty, vztah k antisymetrickým formám, integrování forem a hustot; tenzor orientace, hustotní duál, metrický objemový element; divergence tenzorových hustot, kovariantní derivace hustot, derivace anihilující objemový element
Integrální věty
zobecněná Stokesova věta pro formy, normálová a tečná restrikce tenzorových hustot na podvarietu, Stokesova a Gaussova věta

Studijní texty:

Vedle literatury uvedené níže jsou k dispozici texty speciálně k této přednášce:

Literatura: