Geometrické metody teoretické fyziky I

NTMF059

prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D.

LS 2020: 2/2 Zk Z

Anotace:

Tenzorový počet. Diferencovatelné variety a tečné prostory. Zobrazení variet a Lieova derivace. Vnější kalkulus. Riemannova a pseudoriemannova geometrie. Kovariantní derivace, torze a křivost, prostor konexí, Levi-Civitova konexe, vztah Lieovy, vnější a kovariantní derivace. Variety s hranicí a podvariety, podmínky integrability. Integrování na varietách, hustoty. Integrální věty.

Přednáška je určena zejména pro zájemce o teoretickou fyziku v závěru bakalářského či začátkem magisterského studia.

Na přednášku navazuje předmět NTMF060 – Geometrické metody teoretické fyziky II.

Konání přednášky:

Přednáška a cvičení se konaly ve středu odpoledne od 13:10 do 16:20.

Přednáška probíhala distančně a to formou přednahraných přednášek a cvičení pomocí aplikace Zoom.

Záznamy přednášek a informace o cvičeních jsou k dispozici na zvláštní stránce, jejíž adresa byla rozeslána zapsaným studentům.

Pokud má někdo zájem sledovat přednášku bez zápisu, ať se obrátí emailem na přednášejícího.

(V lednu 2021 došlo k změně adresy webu přednášky a to doplněním úvodního N do kódu přenášky v adrese stránek.)

Zkouška:

Preferovaná je prezenční forma zkoušky. Nicméně je možná i distanční varianta.

To s sebou nese restriktivnější podmínky na průběh zkoušky oproti minulým letem. Konkrétně, před zkouškou bude k dispozici nejvýše 90 min přípravy. Student dostane zadán jeden příklad a dvě teoretické otázky.

Termíny zkoušek jsou vypsané v SISu. Momentálně se jedná o čtvrtky po dobu zkouškového období. V případě potřeby budou přidány další termíny.

Den před zkouškou rozešlu emailem studentům informaci o přesném čase jejich zkoušení. Student by měl čas potvrdit a sdělit formu zkoušky (prezenční/distanční), o kterou má zájem.

Distanční forma zkoušky

Distanční zkouška bude probíhat přes zoom. V tomto případě musí být student schopen zajistit kontinuální snímání prostoru zkoušení kamerou a musí být schopen naskenovat/vyfotit a zaslat v reálném čase přípravu vypracovanou před zkouškou. Dále musí být student schopen psát čitelně na tabuli/papír/obrazovku v průběhu zkoušky a to při zachování záběru na zkoušeného.

Na konkrétní realizaci se lze dohodnout individuálně včas před zkouškou.

Zápočtový problém:

K udělení zápočtu je potřeba odevzdat řešení zápočtového problému.

Řešení odevzdejte do konce zkouškového období zimního semestru a to emailem na adresu
    Robert Švarc <robert.svarc@mff.cuni.cz>
a v subjektu uveďte NTMF059.

Sylabus:

Tenzorový počet
vektorový prostor a jeho duál, tenzorový součin, multi-lineární zobrazení tenzorů, transformace komponent, značení tenzorů
Diferencovatelné variety
základy topologie, diferencovatelná struktura, tečné prostory, vektorová a tenzorová pole, Lieovy závorky
Zobrazení variet a Lieova derivace
zobrazení variet, indukované zobrazení, difeomorfismy, tok, Lieova derivace
Vnější kalkulus
vnější součin, vnější derivování, exaktní a uzavřené formy, Poincareho lemma
Riemannova a pseudoriemannova geometrie
metrika, signatura metriky, délka křivky a vzdálenost, Hodgeův duál, Levi-Civitův tenzor, koderivace
Kovariantní derivace
paralelní přenos, kovariantní derivování, kovariantní diferenciál, geodetiky, normální souřadnice; tenzor torze, Riemannův tenzor, komutátor kovariantních derivací pro skalár a obecný tenzor, Bianchiho identity, Ricciho tenzor
Prostor kovariantních derivací
pseudoderivace, rozdíl dvou konexí a rozdílový tenzor, souřadnicová deriace, souřadnice kovariantní derivace, n-ádová derivace, Ricciho (spinové) koeficienty, derivace anihilující metriku, tenzor kontorze
Levi-Civitova kovariantní derivace
metrická derivace, Christoffelovy symboly, symetrie tenzoru křivosti
Vztah Lieovy, vnější a kovariantní derivace
vyjádření Lieovy a vnější derivace; Killingovy vektory a symetrie
Integrování na varietách
integrovatelné hustoty, vztah k antisymetrickým formám, integrování forem a hustot; tenzor orientace, metrický objemový element; divergence tenzorových hustot, kovariantní derivace hustot, derivace anihilující objemový element
Integrální věty
zobecněná Stokesova věta pro formy

Studijní texty:

Vedle literatury uvedené níže jsou k dispozici texty speciálně k této přednášce:

Literatura: