Anotace:
Tenzorový počet.
Diferencovatelné variety a tečné prostory.
Zobrazení variet, difeomorfismy, Lieova derivace.
Vnější kalkulus.
Riemannova a pseudoriemannova geometrie.
Kovariantní derivace, paralelní přenos, geodetiky.
Torze a křivost, prostor konexí.
Metrické derivace, Levi-Civitova konexe.
Vztah Lieovy, vnější a kovariantní derivace.
Podvariety, integrabilita, Frobeniova věta.
Integrování na varietách, hustoty, integrální věty.
Přednáška je určena zejména pro zájemce o teoretickou fyziku v závěru bakalářského či začátkem magisterského studia.
Na přednášku navazuje předmět NTMF060 – Geometrické metody teoretické fyziky II.
Konání přednášky v ZS 2023:
Přednáška a cvičení jsou rozvrženy ve středu odpoledne od 15:40 do 18:50 v posluchárně T2.
Přednáška i cvičení probíhají prezenčně.
Záznamy přednášek z minulých let jsou k dispozici na zvláštní stránce, jejíž adresa byla rozeslána zapsaným studentům.
Pokud má někdo zájem sledovat záznamy přednášek bez zápisu, ať se obrátí emailem na přednášejícího.
Přednášky probíhají v češtině. K dispozici jsou též záznamy přednášek v angličtině.
Zkouška a konzultace mohou probíhat jak v češtině, tak v angličtině.
Zkouška:
Zkouška probíhá prezenční formou.
Studentovi jsou zadány dvě teoretické otázky a jeden problém obdobný těm řešeným na cvičení. Student má na přípravu dostatečný čas, typicky 90 min.
Zápočet
K udělení zápočtu bude potřeba rozumná účast na cvičení a odevzdání řešení zápočtového problému.
Zápočtový problém bude zveřejněn v druhé polovině semestru. Termín odevzdání řešení je konec zkouškového období zimního semestru.
Sylabus:
- Tenzorový počet
- vektorový prostor a jeho duál, tenzorový součin, multi-lineární zobrazení tenzorů, transformace komponent, značení tenzorů
- Diferencovatelné variety
- základy topologie, diferencovatelná struktura, tečné prostory, vektorová a tenzorová pole, Lieovy závorky
- Zobrazení variet a Lieova derivace
- zobrazení variet, indukované zobrazení, difeomorfismy, tok, Lieova derivace
- Vnější kalkulus
- vnější součin, vnější derivování, exaktní a uzavřené formy
- Riemannova a pseudoriemannova geometrie
- metrika, signatura metriky, délka křivky a vzdálenost, Hodgeův duál, Levi-Civitův tenzor, koderivace
- Kovariantní derivace
- paralelní přenos, kovariantní derivování, kovariantní diferenciál, geodetiky, normální souřadnice; tenzor torze, Riemannův tenzor, komutátor kovariantních derivací pro skalár a obecný tenzor, Bianchiho identity, Ricciho tenzor
- Prostor kovariantních derivací
- pseudoderivace, rozdíl dvou konexí a rozdílový tenzor, souřadnicová deriace, souřadnice kovariantní derivace, n-ádová derivace, Ricciho (spinové) koeficienty, metrické derivace, tenzor kontorze
- Levi-Civitova kovariantní derivace
- jednoznačnost, Christoffelovy symboly, Cartanovy rovnice struktury, symetrie tenzoru křivosti, ireducibilní části Riemanova tenzoru, Weylův tenzor, skalární křivost, Einsteinův tenzor
- Vztah Lieovy, vnější a kovariantní derivace
- vyjádření Lieovy a vnější derivace; Killingovy vektory a symetrie
- Podvariety a distribuce
- vnořené a vložené podvariety, přizpůsobené souřadnice, tečný a normálový prostor; distribuce, podmínky integrability, Frobeniova věta
- Integrování na varietách
- integrovatelné hustoty, vztah k antisymetrickým formám, integrování forem a hustot; tenzor orientace, hustotní duál, metrický objemový element; divergence tenzorových hustot, kovariantní derivace hustot, derivace anihilující objemový element
- Integrální věty
- zobecněná Stokesova věta pro formy, normálová a tečná restrikce tenzorových hustot na podvarietu, Stokesova a Gaussova věta
Studijní texty:
Vedle literatury uvedené níže jsou k dispozici texty speciálně k této přednášce:
Literatura:
- C. W. Misner, K. S. Thorne a J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.
- S. W. Hawking a G. F. R. Ellis: The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge Univ. Press, 1973.
- R. Wald: General Relativity, Univ. of Chicago Press, 1984.
- R. Penrose a W. Rindler: Spinors and space-time, vol. Cambridge Univ. Press, 1999.
- M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, 2004.
- T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.
- Ch. J. Isham: Modern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.
- C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.
- S. Kobayashi a K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.
- M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.
- J. M Lee: Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics Vol. 107, AMS, 2009.