Geometrické metody teoretické fyziky II

NTMF060

prof. RNDr. Jiří Bičák, DrSc.

prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D.

LS 2021: 3/0 Zk

Anotace:

Hodgeova teorie (Hodgeova dekompozice, de Rhamův-Laplaceův operátor, harmoniky), topologické metody (kohomologické a homologické grupy, homotopie, fundamentální grupa, homotopická ekvivalence, Poincarého lemma), Riemannova geometrie v řeči diferenciálních forem (Cartanovy rovnice struktury, výpočet křivosti), Geometrie Lieových grup a algeber (geometrické struktury na Lieových grupách, Lieova algebra grupy, akce grupy na varietě, reprezentace na vektorovém prostoru), fibrované prostory (vektorové bundly, kovariantní derivace), geometrická formalace teorie kalibračních polí (vnitřní stupně volnosti, akce a rovnice pohybu), charakteristické třídy (invariantní symetrické polynomy, Chernova-Weilova věta, charakteristické třídy, Eulerova forma), SL(2,C) spinory (vztah spinorů a vektorů, soldering form, fyzikální pole v řeči spinorů).

Předpokládají se základní znalosti z diferenciální geometrie v rozsahu přednášky NTMF059, na kterou tento předmět volně navazuje.

Informace k průběhu přednášky v LS 2021:

Přednáška je rozvržena ve středu od 14:00 do 16:20 (v případě prezenční výuky v posluchárně ÚTF, 10. patro v Tróji).

Vzhledem k epidemiologické situaci přednáška nyní probíhá distančně. Přednášky jsou přednatáčeny a záznamy zveřejňovány. Ke každé přednášce se koná konzultace na platformě Zoom.

Výuka v tomto semestru probíhá v českém jazyce.

Rozvrh přednášek, konzultací, záznamy distančních přednášek a doprovodné materiály jsou k dispozici na adrese rozeslané zapsaným studentům emailem.

První týden bude informativní zoomovská schůzka, na které se dohodneme na průběhu výuky a zvolíme vhodný čas pro konzultace:

Sylabus:

Hodgeova teorie
Skalární součin na prostoru forem, Hodgeho duál, koderivace, de Rhamův-Laplaceův a Beltrami-Laplaceův operátor, Hodgeova dekompozice, potenciál a kopotenciál, harmoniky a kohomologie.
Topologické metody
Kohomologické a homologické grupy, homotopie, fundamentální grupa, homotopická ekvivalence, homotopický operátor, kontrahovatelnost a Poincareho lema.
Riemannova geometrie v řeči diferenciálních forem
Vnější kalkulus (přehled). Formulace Maxwellových rovnic. Ortonormální báze, Cartanovy rovnice struktury, Ricciho koeficienty, Bianchiho identity. Výpočet tenzoru křivosti, příklad - Vaidyaho metrika.
Přehled geometrie Lieových grupy a algeber
Lieovy grupy, konstrukce Lieovy algebry, exponenciální zobrazení, Killingova metrika a strukturní konstanty, levo- a pravo-invariantní metrika, míra, kovariantní derivace. Přidružené reprezentace. Akce grupy na varietách, spojité transformace a jejich generátory. Reprezentace na vektorových prostorech.
Fibrované prostory
Fibrované prostory, vektorové bundly a geometrie na nich, kovariantní derivace, vektorový potenciál a křivost, kalibrační symetrie, objekty na lokální Lieovy algebře.
Geometrická formulace kalibračních polí
Vnitřní stupně volnosti a jejich reprezentace pomocí vektorových bundlů. Kalibrační symetrie. Bundl kalibrační grupy a algebry, kalibrační a Yang-Millsovo pole. Akce a pohybové rovnice. Elektromagnetické a nabitá pole.
Charakteristické třídy
Invariantní symetrické polynomy v křivosti, Chernova-Weilova věta, charakteristické třídy, Chernovy třídy a charakteristiky, Pontrjaginovy třídy, Eulerova forma, integrální charakteristiky.
Dvoukomponentové spinory
Zavedení spinorů, antisymetrická metrika, soldering form – `odmocnina' z metriky, vztah vektorů a spinorů, geometrické veličiny a fyzikální pole v řeči spinorů. Elektromagnetické pole a křivost.

Literatura: