NTMF060 - Geometrické metody teoretické fyziky II

Anotace:

Vybraná témata z pokročilých geometrických metod ve fyzice. Na přednášce se objevují některá z následujících témat:
Geometrie Lieových grup a algeber (geometrické struktury na Lieových grupách, Lieova algebra grupy, akce grupy na varietě, reprezentace na vektorovém prostoru). Hodgeova teorie (Hodgeova dekompozice, de Rhamův-Laplaceův operátor, harmoniky), topologické metody (kohomologické a homologické grupy, homotopie, fundamentální grupa, homotopická ekvivalence, Poincarého lemma). Fibrované prostory (vektorové bundly, kovariantní derivace), fibrované prostory s dotykovou formou (dotyková forma, kovariantní vnější derivace, so-konexe), geometrická formalace teorie kalibračních polí (vnitřní stupně volnosti, akce a rovnice pohybu), charakteristické třídy (invariantní symetrické polynomy, Chernova-Weilova věta, charakteristické třídy, Eulerova forma). Integrabilita distribucí vektorů a kovektorů (Frobeniova věta a kritéra integrability). Rozštěpení křivosti na podvaritách (první a druhá fundamentální forma, ortogonální projekce křivosti, Gaussova, Weingartenova a Codazziho–Mainardiho rovnice, vnější křivost nadploch, Gaussova Theorema Egregium pro plochy). Symplektická geometrie (fázový prostor, systémy s vazbami, symplektická struktura kotečného bundlu, kovariantní derivování na kotečném bundlu). Spinory (Cliffordovy algebry, Diracovy spinory, Weylovy spinory, spinorové bundly a derivace na nich, fyzikální pole v řeči spinorů, použití spinorů v OTR).

Předpokládají se základní znalosti z diferenciální geometrie v rozsahu přednášky NTMF059, na kterou tento předmět volně navazuje.

Informace k průběhu přednášky v LS 2026:

Kurz je rozvržen ve čtvrtek od 10:40 do 13:00 v posluchárně T2.

Výuka v letním semestru 2026 probíhá v českém jazyce.

Přednášky se konají prezenčně. Záznamy přednášek jsou k dispozici na stránce pro zapsané studenty.

Sylabus:

Fibrované prostory: Fibrované prostory, vektorové bundly, kovariantní derivace, vektorový potenciál a křivost, interpretace křivosti.
Fibrované prostory s dotykovou formou: Dotyková forma. Dvojí chápání tečných tenzorů, kovariantní vnější derivace. SO-konexe.
Symplektická geometrie: Fázový prostor jako symplektická varieta. Symplektická forma, hamiltonovský tok, Poissonovy závorky. Redukce fázového prostoru pro systémy s vazbami. Symplektická struktura kotečného bundlu, kovariantní rozštěpení sumplektické formy, kovariantní derivování na kotečném bundlu.
Stručný úvod do Lieových grup: Lieovy grupa a její Lieova algebra, Lieovy závorky, adjoint zobrazení. Reprezentace grup a jejich genrátory, Casimirovy operátory. Ortogonální grupa, Lorentzova grupa ve 4 dimenzích, kasifikace ireducibilních reprezentací.
Spinory: Cliffordovy algebry, realizace na vnější algebře, klasifikace. Ireducibilní reprezentace Cliffordových algeber. Diracovy spinory a struktury na nich. Rozštěpení na Weylovy spinory. Grupy ortogonálních transformací: Pin, Spin a SO grupy. Spinorové bundly a derivace na nich. Fyzikální pole v řeči dvoukomponentových spinorů, použití spinorů v OTR.

Literatura:

M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, 2004.
C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.
T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.
M. Nakahara: Geometry, Topology and Physics, Taylor&Francis, 2003.
Ch. Nash, S. Sen: Topology and Geometry for Physicists, Dover Publ., 2011.
J. A. de Azcárraga, J. M. Izquierdo: Lie Groups, Lie Algebras, Cohomology and some Applications in Physics, Cambridge Univ. Press, 1995.
Ch. J. Isham: Moddern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.
E. W. Mielke: Geometrodynamics of Gauge Fields, Springer, 2017.
C. W. Misner, K. S. Thorne a J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.
S. Kobayashi a K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.
M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.
V. I. Arnold: Mathematical methods of classical mechanics, Graduate Texts in Math. No. 60, Springer-Verlag, 1978.
R. Abraham a J. E. Marsden: Foundations of Mechanics, Addison-Wesley, 1985.
I. B. Benn a R. W. Tucker: An introduction to spinors and geometry with applications in physics, Adam Hilger, 1990.
J. Vaz, Jr. a R. da. Rocha, Jr.: An introduction to Clifford algebras and spinors, Oxford Univ. Press, 2016.
D. J. H. Garling: Clifford Algebras - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 2009.
P. Budinich a A. Trautman: The spinorial chessboard, Springer, 1988.
R. Penrose a W. Rindler: Spinors and space-time, Cambridge Univ. Press, 1999.
P. O'Donnell: 2-Spinors in General Relativity, World Scientific, 2003.
R. U. Sexl a H. K. Urbantke: Relativity, groups, particles - special relativity and relativistic symmetry in field and particle physics Springer, 2001.

Geometrické metody teoretické fyziky II

Anotace:

Konání přednášky:

Informace k průběhu přednášky v LS 2026:

Sylabus:

Literatura: