Anotace:
Hodgeova teorie (Hodgeova dekompozice, de Rhamův-Laplaceův operátor, harmoniky),
topologické metody (kohomologické a homologické grupy, homotopie, fundamentální grupa, homotopická ekvivalence, Poincarého lemma),
Riemannova geometrie v řeči diferenciálních forem (Cartanovy rovnice struktury, výpočet křivosti),
Geometrie Lieových grup a algeber (geometrické struktury na Lieových grupách, Lieova algebra grupy, akce grupy na varietě, reprezentace na vektorovém prostoru),
fibrované prostory (vektorové bundly, kovariantní derivace),
geometrická formalace teorie kalibračních polí (vnitřní stupně volnosti, akce a rovnice pohybu),
charakteristické třídy (invariantní symetrické polynomy, Chernova-Weilova věta, charakteristické třídy, Eulerova forma),
SL(2,C) spinory (vztah spinorů a vektorů, soldering form, fyzikální pole v řeči spinorů).
Předpokládají se základní znalosti z diferenciální geometrie v rozsahu přednášky NTMF059, na kterou tento předmět volně navazuje.
Termíny zkoušky:
Zkouška se koná v následujících termínech:
- čtvrtek 4.6. 11:00 ÚTF
- středa 10.6. 11:00 ÚTF
- středa 17.6. 11:00 ÚTF
- středa 24.6. 11:00 ÚTF
- středa 1.7. 11:00 ÚTF
- středa 8.7. 11:00 ÚTF
- úterý 21.7. 11:00 ÚTF
- středa 9.9. 11:00 ÚTF
Další termíny po domluvě s prof. Bičákem nebo prof. Krtoušem.
Zkouška se skládá z písemné (na základě odevzdaných domácích úkolů) a ústní části (2 otázky z vyložené látky).
Zkouška se skládá z písemné (výpočet křivosti metriky formalismem forem) a ústní části (2 otázky z vyložené látky).
Konání přednášky:
Informace k průběhu přednášky v LS 2021:
Přednáška je rozvržena ve středu od 14:00 do 16:20 (v případě prezenční výuky v posluchárně ÚTF, 10. patro v Tróji).
Vzhledem k epidemiologické situaci přednáška nyní probíhá distančně. Přednášky jsou přednatáčeny a záznamy zveřejňovány. Ke každé přednášce se koná konzultace na platformě Zoom.
Výuka v tomto semestru probíhá v českém jazyce.
Rozvrh přednášek, konzultací, záznamy distančních přednášek a doprovodné materiály jsou k dispozici na adrese rozeslané zapsaným studentům emailem.
První týden bude informativní zoomovská schůzka, na které se dohodneme na průběhu výuky a zvolíme vhodný čas pro konzultace:
- název: Úvodní schůzka
- čas: 3. března ve 14:00
- Zoom ID: 951 0988 3892
- heslo: 037768
Sylabus:
- Hodgeova teorie
- Skalární součin na prostoru forem, Hodgeho duál, koderivace, de Rhamův-Laplaceův a Beltrami-Laplaceův operátor, Hodgeova dekompozice, potenciál a kopotenciál, harmoniky a kohomologie.
- Topologické metody
- Kohomologické a homologické grupy, homotopie, fundamentální grupa, homotopická ekvivalence, homotopický operátor, kontrahovatelnost a Poincareho lema.
- Riemannova geometrie v řeči diferenciálních forem
- Vnější kalkulus (přehled). Formulace Maxwellových rovnic. Ortonormální báze, Cartanovy rovnice struktury, Ricciho koeficienty, Bianchiho identity. Výpočet tenzoru křivosti, příklad - Vaidyaho metrika.
- Přehled geometrie Lieových grupy a algeber
- Lieovy grupy, konstrukce Lieovy algebry, exponenciální zobrazení, Killingova metrika a strukturní konstanty, levo- a pravo-invariantní metrika, míra, kovariantní derivace. Přidružené reprezentace. Akce grupy na varietách, spojité transformace a jejich generátory. Reprezentace na vektorových prostorech.
- Fibrované prostory
- Fibrované prostory, vektorové bundly a geometrie na nich, kovariantní derivace, vektorový potenciál a křivost, kalibrační symetrie, objekty na lokální Lieovy algebře.
- Geometrická formulace kalibračních polí
- Vnitřní stupně volnosti a jejich reprezentace pomocí vektorových bundlů. Kalibrační symetrie. Bundl kalibrační grupy a algebry, kalibrační a Yang-Millsovo pole. Akce a pohybové rovnice. Elektromagnetické a nabitá pole.
- Charakteristické třídy
- Invariantní symetrické polynomy v křivosti, Chernova-Weilova věta, charakteristické třídy, Chernovy třídy a charakteristiky, Pontrjaginovy třídy, Eulerova forma, integrální charakteristiky.
- Dvoukomponentové spinory
- Zavedení spinorů, antisymetrická metrika, soldering form – `odmocnina' z metriky,
vztah vektorů a spinorů, geometrické veličiny a fyzikální pole v řeči spinorů. Elektromagnetické pole a křivost.
Studijní texty:
Vedle literatury uvedené níže jsou k dispozici texty speciálně k přednášce NTMF059:
Literatura:
- C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.
- M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, 2004.
- T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.
- M. Nakahara: Geometry, Topology and Physics, Taylor&Francis, 2003.
- Ch. Nash, S. Sen: Topology and Geometry for Physicists, Dover Publ., 2011.
- J. A. de Azcárraga, J. M. Izquierdo: Lie Groups, Lie Algebras, Cohomology and some Applications in Physics, Cambridge Univ. Press, 1995.
- Ch. J. Isham: Moddern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.
- E. W. Mielke: Geometrodynamics of Gauge Fields, Springer, 2017.
- R. Penrose a W. Rindler: Spinors and space-time, Cambridge Univ. Press, 1999.
- P. O'Donnell: 2-Spinors in General Relativity, World Scientific, 2003.
- C. W. Misner, K. S. Thorne a J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.
- S. Kobayashi a K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.
- M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.
- V. I. Arnold: Mathematical methods of classical mechanics, Graduate Texts in Math. No. 60, Springer-Verlag, 1978.
- R. Abraham a J. E. Marsden: Foundations of Mechanics, Addison-Wesley, 1985.