NTMF060 - materiály pro LS 2024 / materials for spring term 2024

Materiály ke stáhnutí / Materials for download:

Geometrie Lieových grup 1 – Základní struktury: Lieovy grupy, levo- a pravo-invariantní pole, konstrukce Lieovy algebry, strukturní tenzor, Killingova metrika, bi-invariantní metrika a míra. Exponenciální zobrazení. Přidružené reprezentace. Prosté a poloprosté Lieovy grupy a algebry a jejich vlastnosti.; záznam: [2021 cze mp4 552MB 130min]; poznámky PaKr: [cze pdf]; poznámky IvKo: [cze pdf]
Geometry of Lie groups 1: Lie groups, left and right invariant fields. Lie algebra of a Lie group, structure tensor, Killing metric, bi-invariant metric and measure. Exponential map. Adjoint representations. Simple and semisimple groups and algebras.; video: [2022 eng mp4 536MB 107min]
Geometrie Lieových grup 2 – Kovariantní derivace; Akce grupy na varietě: Levo- a pravo-invariantní kovariantní derivace, rovnice pro levo- a pravo-invariantní báze, $λ$ -derivace, Levi-Civitova derivace, křivost. Akce Lieovy grupy na varietě, generátory akce a jejich Lieovy závorky. Reprezentace Lieovy grupy a algebry na vektorovém prostoru, generátor reprezentace. Grupa symetrií metriky, Killingovy vektory a jejich transformace, příklady v $E^{2}$ .; záznam: [2021 cze mp4 576MB 160min]; poznámky PaKr: [cze pdf]; poznámky IvKo: [cze pdf]; materiál navíc: Příklad grupy isometrií [cze pdf]; materiál navíc: Lieovy algebry [cze pdf]
Geometry of Lie groups 2: Left and right invariant covariant derivatives, Maurer-Cartan equations, $λ$ -derivative and Levi-Civita derivative, curvature. Action of Lie group on a manifold, generator of the action, Lie bracket. Representation of Lie group and algebra on a vector space, generator of representation. Group of isometries, Killing vectors and their transformations, example in $E^{2}$ and $L^{2}$ .; video: [2022 eng mp4 485MB 112min]
Hodgeova teorie: Lokální a globální Hodgeovo rozštěpení, harmoniky. Kohomologické grupy, Bettiho čísla, Poincarého dualita. Příklasy kohomologických grup pro nejjednodušší variety.; záznam: [2021 cze mp4 440MB 99min]; poznámky PaKr: [cze pdf]; poznámky IvKo: [cze pdf]
Příklady kohomologických grup: Nultá kohomologická grupa $H^{0} M$ , kohomologické grupy variet $S^{1}$ , $T^{2}$ a $S^{n}$ .; záznam: [2021 cze mp4 112MB 36min]; poznámky PaKr: [cze pdf]
Hodge theory and de Rham cohomology: Local and global Hodge decomposition, harmonics. De Rham cohomology, cohomology groups, Betti numbers, Poincare duality. Examples of cohomology groups for the simplest manifols.; video: [2022 eng mp4 484MB 115min]
Homologické a kohomologické grupy: Motivace, simplexy a komplexy simplexů, chain, Abelovy grupy, cykly a hranice, homologická grupa, Bettiho čísla, Eulerova charakteristika. Příklady. Singulární homologie, singulární simplex, chain, cykly a hranice, singulární homologie. Dualita homologické a kohomologické grupy.; záznam: [2021 cze mp4 274MB 87min]; poznámky PaKr: [eng pdf]
Homology and cohomology groups: Simplicial homology, simplicial complex, boundary operator, chains, cycles, boundaries. Homology groups, Betti numbers, Euler characteristic. Examples. Singular homology. Duality of homology and cohomology groups.; video: [2022 eng mp4 719MB 165min]; notes PaKr: [eng pdf]
Homotopie: Homotopie, homotopická zobrazení, homotpické grupy, homotopická ekvivalence variet, kontrahovatelnost. Homotopie generovaná tokem, homotopický operátor, Poincarého lema. Fundamentální grupa.; záznam: [2021 cze mp4 598MB 146min]; poznámky PaKr: [cze pdf]
Homotopy: Homotopy, homotopic invariants, homotopic type, deforamtion retract, contractibility using flow. Homotopic operator, Poincaré lemma. Map induced on homology groups, homotopy and homology. Fundamental group.; video: [2022 eng mp4 491MB 109min]
Vektorové fibrované prostory 1 – Definice; Kovariantní derivace: Fibrované prostory, příklad odlišných bundlů. Kovariantní derivace na vektorových bundlech, rozdíl kovariantních derivací, vektorový potenciál. Antisymetrické formy s hodnotami ve vektorovém bundlu, kovariantní vnější derivace.; záznam: [2021 cze mp4 596MB 123min]; poznámky PaKr: [cze pdf]
Vector bundles 1 - definition, covariant derivative: Fibre bundles, general definition, vector and tensor bundles, trivialization. Example of trivial and twisted bundles. Covariant derivative on vector bundles, pseudoderivative, derivative on tensor product of bundles. Covariant derivative for trivialization, vector potential. Vector-bundle valued antisymmetric forms, covariant exterior derivative.; video: [2022 eng mp4 436MB 92min]
Vektorové fibrované prostory 2 – Křivost: Operátor křivosti, tenzor křivosti, křivost jako druhá kovariantní vnější derivace. Tenzor křivosti z vektorového potenciálu. Bianchiho identity, zákon zachování toku.; záznam: [2021 cze mp4 489MB 112min]; poznámky PaKr: [cze pdf]
Tenzor-značné formy na tečném bundlu: Rozdělení tečných indexů na formové a tenzorové. Torze jako kovariantní vnější derivace jednotky. Riemannův tenzor. Bianchiho identity.; záznam: [2021 cze mp4 92MB 28min]
Vector bundles 2 - curvature: Curvature operator, curvature tensor, the second covariant exterior derivative, curvature in terms of vector potential. Bianchi identity, local conservation law.; video: [2022 eng mp4 286MB 67min]
Kalibrační symetrie 1 - Reprezentace na vektorových bundlech: Kalibrační symetrie. Reálný vektorový bundle s O nebo SO-symetrií. Metrická struktura na fibru, Levi-Civitův tensor a orientace, ortonormální transformace, lieova grupa symetrií, lieova algebra. Kovariantní derivace anihilující metriku, kalibrační transformace kovariantní derivace, transformace vektorového potenciálu a tenzoru křivosti. Komplexní vektorový bundl s U symetrií. Reprezentace antilineárních operací a sdružené prostory. Skalární součin, hermitovská struktura a unitární kalibrační transformace. Kovariantní derivace konzistentní s hermitovskou strukturou, vektorový potenciál, křivost, kalibrační transformace.; záznam: [2021 cze mp4 669MB 167min]; poznámky PaKr: [cze pdf]
Gauge symmetry: Gauge symmetry, real vector bundle with O or SO symmetry. Metric structure on a fibre, Levi-Civita tensor, and orientation, orthonormal transformation, Lie group and algebra. Covariant derivative annihilating the metric, gauge transformation of the derivative, transformation of the vector potential and curvature tensor. Complex vector bundle and U symmetry. Antilinear operations and conjugated spaces. Scalar product, hermitian structure, unitary transformations. Covariant derivative consistent with the hermitian structure.; video: [2022 eng mp4 419MB 106min]
Kalibrační symetrie 2 - Bundl kalibrační Lieovy algebry: Opakování poloprostých grup a algeber. Bundl Lieovy grupy a Lieovy algebry. Kovariantní derivace na Lieově algebře. Reprezentace vektorového potenciály a tenzoru křivosti pomocí přidružené reprezentace.; záznam: [2021 cze mp4 294MB 57min]; poznámky PaKr: [cze pdf]
Kalibrační symetrie 3 - Asociované vektorové bundly: Asociace vektorového bundlu s bundly kalibrační grupy a algebry. Trivializace konzistentní s asociací. Kovariantní derivace konzistentní s asociací. Jednoznačnost derivace indukované na asociaovaném bundlu.; záznam: [2021 cze mp4 208MB 64min]; poznámky PaKr: [cze pdf]
Group and algebra bundles, associated bundles: Gauge group bundle, Gauge Lie algebra bundle. Covariant derivatives on the Lie algebra bundle. Adjoint representation of vector potentials and curvature tensors. Associated vector bundles. Representation of gauge group and algebra on vector bundles. Trivialization consistent with the association. Covariant derivative consistent with the association. Uniqueness of the derivatives indiced on the associated bundles. Information about the principal bundles.; video: [2022 eng mp4 318MB 82min]
Kalibrační symetrie 4 - U(1) kalibrační symetrie a nabitá pole: Komplexní jednodimenzionální vektorový bundl, kanonická ztotožnění v tenzorové algebře, nabitá pole. U(1) kalibrační symetrie a operace na nabitých polích. U(1)-kovariantní derivace na nabitých polích. Kalibrační transformace kovariantní derivace, transformace vektorového potenciálu a tenzoru křivosti.; záznam: [2021 cze mp4 291MB 60min]; poznámky PaKr: [cze pdf]
U(1) bundle and charged fields: One-dimensional complex vector bundle, canonical identifications in the tensor algebra, charged fields. U(1) gauge symmetry, operation with chred fields. Covariant derivative on charged fields, vector potential, curvature tensor. Gauge transformation of these objects.; video: [2022 eng mp4 196MB 43min]; notes: [pdf]
Struktura klasické teorie pole: Matematický jazy pro popis gravitace, kalibrační pole a látková pole včetně pole skalárního. Základní podoba akcí, pohybové rovnice, zdroje, tenzor energie-hybnosti.; záznam: [2020 cze mp4 363MB 94min]; poznámky PaKr: [cze pdf]; S tématem této přednášky souvisí též přednáška
Jazyk fundamentálních teorií: akce a geometrizace
z cyklu Filosofické problémy fyziky z podzimu 2019, jejíž záznam je k dispozici na kanálu LLionTV a prezentace je k dispozici zde: [pdf].
Structure of the field theory: Description of the classical field theory, actions, equations of motions, stress-energy tensors.; video: [2022 eng mp4 140MB 43min]
Chern-Weilova věta a charakteristické třídy: Invariantní symetrické polynomy na reprezentaci Lieovy algebry. Chern-Weilova věta. Charakteristické třídy. Chernovy charakteristické třídy a Chernova charakteristika, Eulerova charakteristika. Gauss-Bonnetova věta.; záznam: [2021 cze mp4 758MB 164min]; poznámky PaKr: [cze pdf]
Chern-Weil theorem and characteristic classes: Invariant constant symmetric polynomials. Chern-Weil theorem. Characteristic classes, Chern class and character, Euler characteristic. Gauss-Bonnet theorem.; video: [2022 eng mp4 508MB 112min]
Submanifolds and curvature splitting: Tangent vectors and normal covectors. Choice of normal vectors and tangent covectors. Splitting of heneric covariant derivative, tangent and normal covariant derivatives, the second fundamental form, curvature splitting. Metric and orthogonal splitting, Levi-Civita covariant derivative. Contracted identities. Umbilic embedding, Embedding in maximally symmetric space.; video: [2024 eng mp4 606MB 124min]
Unfortunately, the lecture has pure audio due to technical problems during recording.; poznámky PaKr: [cze pdf]; notes PaKr: [eng pdf]
Time foliation and curvature splitting: Hypersurfaces, extrinsic curvature, curvature splitting, Gauss-Codazzi identity, normal components of Einstein tensor. Umbilic embedding in the maximally symmetric space, Theorema Egregium. Foliation by hypersurfaces, time function and lapse, normal derivatives of projectors and metrics, normal components of the curvature. Time flow, lapse and shift, time derivative. Action for GR, Lagrangian, canonical momentum, Hamiltonian.; video: [2024 eng mp4 788MB 125min]; notes PaKr: [eng pdf]

Geometrické metody teoretické fyziky II

Geometrical Methods of Theoretical Physics II

materiály k přednáškám / materials for lectures

Přednášky a zkouška / Lectures and exam:

Termíny zkoušky / Exam dates:

Přednášky / Lectures:

Materiály ke stáhnutí / Materials for download:

Literatura/Literature: