Geometrické metody teoretické fyziky II

Domácí příprava:

Jako součást distanční výuky je i řešení problémů souvisejících s vykládanou látkou. Hodnocení řešení problému bude zahrnuto do hodnocení zkoušky.

• Problém č. 1 [pdf] – bude hodnoceno na zkoušce
• Problém č. 2 [pdf] – problém k procvičení probrané látky

Řešení posílejte elektronickou formou (pdf z LaTeXu, scan či foto) na adresu:
Pavel.Krtous@utf.mff.cuni.cz

Přednášky ke stažení:

Úvodní slovo

záznam: [mp4 13MB 4min]

Hodgeova teorie

Lokální a globální Hodgeovo rozštěpení, harmoniky. Kohomologické grupy.

záznam: [mp4 440MB 99min]

Homologické a kohomologické grupy

Simplektické komplexy, chain, hranice, homologická grupa, příklady. Dualita homologické a kohomologické grupy. Bettiho čísla.

záznam: [mp4 274MB 87min]

Příklady kohomologických grup [nepovinný doplňkový materiál]

Nultá kohomologická grupa $H^{0}M$, kohomologické grupy variet $S^1$, $T^2$ a $S^n$.

záznam: [mp4 112MB 36min]

Homotopie

Homotopie, homotopická zobrazení, fundamentální grupa, homotopická ekvivalence variet, homotopický operátor, kontrahovatelnost a Poincarého lema.

záznam: [mp4 598MB 146min]

Připomenutí vnějšího kalkulu; Maxwellovy rovnice v řeči forem

Vnější kalkulus, vnější součin, vnější derivace, Hodgeův duál, aplikace na Maxwellovu teorii se zdroji.

záznam: [mp4 136MB 56min]

poznámky: [pdf]

Riemanovská geometrie ve formách

Tetrádový formalismus, báze forem, 1-formy konexe, Ricciho rotační koeficienty, první Cartanovy rovnice struktury, 2-formy křivosti, druhé Cartanovy rovnice struktury.

záznam: [mp4 239MB 108min]

poznámky: [pdf]

Riemanovská geometrie ve formách - aplikace

Identity pro křivost, É. Cartan, dvoudimensionální plochy, P. C. Vaidya, Vaidyaův prostoročas, výpočet křivosti.

záznam: [mp4 239MB 112min]

poznámky: [pdf]

Geometrie Lieových grup 1 – Základní struktury

Lieovy grupy, levo- a pravo-invariantní pole, konstrukce Lieovy algebry, strukturní tenzor, Killingova metrika, bi-invariantní metrika a míra. Exponenciální zobrazení. Přidružené reprezentace. Prosté a poloprosté Lieovy grupy a algebry a jejich vlastnosti.

záznam: [mp4 552MB 130min]

poznámky: [pdf]

Geometrie Lieových grup 2 – Kovariantní derivace; Akce grupy na varietě

Levo- a pravo-invariantní kovariantní derivace, rovnice pro levo- a pravo-invariantní báze, $\lambda$-derivace, Levi-Civitova derivace, křivost. Akce Lieovy grupy na varietě, generátory akce a jejich Lieovy závorky. Reprezentace Lieovy grupy a algebry na vektorovém prostoru, generátor reprezentace. Grupa symetrií metriky, Killingovy vektory a jejich transformace, příklady v ${\mathsf{E}}^2$.

záznam: [mp4 576MB 160min]

poznámky: [pdf]

materiál navíc: Příklad grupy isometrií [pdf]

Vektorové fibrované prostory 1 – Definice; Kovariantní derivace

Fibrované prostory, příklad odlišných bundlů. Kovariantní derivace na vektorových bundlech, rozdíl kovariantních derivací, vektorový potenciál. Antisymetrické formy s hodnotami ve vektorovém bundlu, kovariantní vnější derivace.

záznam: [mp4 596MB 123min]

poznámky: [pdf]

Vektorové fibrované prostory 2 – Křivost

Operátor křivosti, tenzor křivosti, křivost jako druhá kovariantní vnější derivace. Tenzor křivosti z vektorového potenciálu. Bianchiho identity, zákon zachování toku.

záznam: [mp4 489MB 112min]

poznámky: [pdf]

Tenzor-značné formy na tečném bundlu [doplňkový nepovinný materiál]

Rozdělení tečných indexů na formové a tenzorové. Torze jako kovariantní vnější derivace jednotky. Riemannův tenzor. Bianchiho identity.

záznam: [mp4 92MB 28min]

poznámky: [pdf]

Kalibrační symetrie 1 - Reprezentace na vektorových bundlech

Kalibrační symetrie. Reálný vektorový bundle s O nebo SO-symetrií. Metrická struktura na fibru, Levi-Civitův tensor a orientace, ortonormální transformace, lieova grupa symetrií, lieova algebra. Kovariantní derivace anihilující metriku, kalibrační transformace kovariantní derivace, transformace vektorového potenciálu a tenzoru křivosti. Komplexní vektorový bundl s U symetrií. Reprezentace antilineárních operací a sdružené prostory. Skalární součin, hermitovská struktura a unitární kalibrační transformace. Kovariantní derivace konzistentní s hermitovskou strukturou, vektorový potenciál, křivost, kalibrační transformace.

záznam: [mp4 669MB 167min]

poznámky: [pdf]

Kalibrační symetrie 2 - U(1) kalibrační symetrie a nabitá pole

Komplexní jednodimenzionální vektorový bundl, kanonická ztotožnění v tenzorové algebře, nabitá pole. U(1) kalibrační symetrie a operace na nabitých polích. U(1)-kovariantní derivace na nabitých polích. Kalibrační transformace kovariantní derivace, transformace vektorového potenciálu a tenzoru křivosti.

záznam: [mp4 291MB 60min]

poznámky: [pdf]

Kalibrační symetrie 3 - Bundl kalibrační Lieovy algebry

Opakování poloprostých grup a algeber. Bundl Lieovy grupy a Lieovy algebry. Kovariantní derivace na Lieově algebře. Reprezentace vektorového potenciály a tenzoru křivosti pomocí přidružené reprezentace.

záznam: [mp4 294MB 57min]

poznámky: [pdf]

Kalibrační symetrie 4 - Asociované vektorové bundly

Asociace vektorového bundlu s bundly kalibrační grupy a algebry. Trivializace konzistentní s asociací. Kovariantní derivace konzistentní s asociací. Jednoznačnost derivace indukované na asociaovaném bundlu.

záznam: [mp4 208MB 64min]

poznámky: [pdf]

Struktura klasické teorie pole [nepovinný doplňkový materiál]

Matematický jazy pro popis gravitace, kalibrační pole a látková pole včetně pole skalárního. Základní podoba akcí, pohybové rovnice, zdroje, tenzor energie-hybnosti.

záznam: [mp4 363MB 94min] (jedná se o záznam přednášky z r. 2020)

S tématem této přednášky souvisí též přednáška
Jazyk fundamentálních teorií: akce a geometrizace
z cyklu Filosofické problémy fyziky z podzimu 2019, jejíž záznam je k dispozici na kanálu LLionTV a prezentace je k dispozici zde: [pdf].

Chern-Weilova věta a charakteristické třídy

Invariantní symetrické polynomy na reprezentaci Lieovy algebry. Chern-Weilova věta. Charakteristické třídy. Chernovy charakteristické třídy a Chernova charakteristika, Eulerova charakteristika. Gauss-Bonnetova věta.

záznam: [mp4 758MB 164min]

poznámky: [pdf]

Dvoukomponentové spinory 1

Zavedení spinorů, antisymetrická metrika, soldering form, geometrické veličiny a fyzikální pole v řeči spinorů. Spinorová reprezentace elektromagnetického pole a křivosti.

záznam: [mp4 390MB 115min]

poznámky: [pdf]

Dvoukomponentové spinory 2

Petrovova klasifikace. Kovarinatní derivace spinorů, polní rovnice. Interpretace spinorů, vztah vektorů a spinorů.

záznam: [mp4 148MB 75min]

poznámky: [pdf]

Odpřednášený čas povinných přednášek:  min z celkových 1890 min.
To pokrývá všech 14 rozvržených přednášek.

Literatura:

• C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.
• M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, 2004.
• T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.
• M. Nakahara: Geometry, Topology and Physics, Taylor&Francis, 2003.
• Ch. Nash, S. Sen: Topology and Geometry for Physicists, Dover Publ., 2011.
• Ch. J. Isham: Moddern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.
• E. W. Mielke: Geometrodynamics of Gauge Fields, Springer, 2017.
• R. Penrose a W. Rindler: Spinors and space-time, Cambridge Univ. Press, 1999.
• P. O'Donnell: 2-Spinors in General Relativity, World Scientific, 2003.
• C. W. Misner, K. S. Thorne a J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.
• S. Kobayashi a K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.
• M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.