Kvantová mechanika I - NTMF066 (ZS 2018-19)

Aktuality:

(19.1.2019) Zde je vzorové řešení písemky. Těm, co se chystají na zkoušku, doporučuji si jej dobře projít a porozumět detailům. Omlouvám se zpoždění, chtěl jsem tam zapracovat alternativní postupy z odevzdaných písemek, ale měl jsem toho tento týden hodně.

(16.1.2019) Zde je konečné hodnocení zápočtových bodů. Ti, kteří mají některé políčko zelené, nemusí řešit příklady u zkoušky (viz níže). Do vzorového řešení písemky ještě doplním některé alternativní postupy podle vašich nápadů a do zítřka jej zveřejním. Několik z vás ještě stále nedosáhlo na zápočet. Můžete mi stále odevzdat chybějící domácí úlohy, a pokud by to stále nestačilo, vyberte si některou z domácích úloh z minulých let na stránce cvičení.

(14.1.2019) Zatím jsem opravil zápočtovou písemku těch, kteří ji psali na cvičení. Vzhledem k tomu, že nikdo nedosáhl více než 40 bodů, byla patrně nastavená poněkud, obtížněji než jsem zamýšlel a tak jsem se rozhodl odpustit počítání u zkoušky všem, co dosáhli alespoň 20 bodů z písemky a odevzdali všechny domácí úkoly. Všem, kdo měli odvahu zúčastnit se tohoto stresového testu, blahopřeji. Těm, co nedosáhli na odpuštění počítání u zkoušky, doporučuji poučit se chyb a nemějte obavy, u zkoušky Vám dopřeji na počítání dost času. Dodatečně odevzdané písemky doopravím během dneška a zítra zveřejním kompletní bodové ohodnocení.

(10.1.2019) Napsali jsme si zápočtovou písemku a 3 posluchači úspěšně absolvovali předtermín. Pokud Vám ještě chybí body na zápočet, můžete stále odevzdávat vyřešené úlohy ze zápočtové písemky (zadání a tahák), ale dodejte mi je pokud možno dnes, v krajním případě do zítřka, abych mohl v pondělí zveřejnit výsledky a vzorové řešení.

(4.1.2019) Vypsal jsem termíny zkoušek. Původně na čtvrtky, ale kvůli nedostupnosti posluchárny jsem to musel opravit na úterky (ti co už byli zapsaní na čtvrtek, můžou přijít tak jak se napsali), omlouvám se za zmatky. Kromě toho jsem v den písemky vypsal zkouškový předtermín s omezenou kapacitou, protože je to podmíněné tím, že stihnu opravit zkoušeným písemku, zkoušel bych je po obědě. Všiml jsem si, že už je termín naplněn. Termín je vypsaný jako písemka, ale zapisujte se jen pokud chcete být po obědě zkoušeni! Pokud by ještě někdo chtěl být vyzkoušen dříve mohu omezený počet lidí (řekněme 5) vyzkoušet ve čtvrtek nebo v pátek 10-11. ledna. 

(20.12.2018) Na stránce cvičení jsou zveřejněny již všechny domácí úlohy a jejich bodové hodnocení. Připomínám, že jsme se domluvili na zápočtovou písemku na středu 9. ledna od 10:30. Studijní materiály jsou rovněž na stránce cvičení.

Zde je odkaz na staré stránky z předchozího běhu 2016-17.


Na cvičení k přednášce je možno získat 50 bodů za domácí úkoly a 50 bodů za test. Pro získání zápočtu potřebuje student 50 bodů. Při zisku 75 a více bodů odpouštím příklad u zkoušky. Za zisk alespoň 90 bodů bude zvláštní prémie (v zimním semestru sladkosti s fyzikální tématikou). Získání dodatečných bodů např. v případě dlouhodobé nepřítomnosti viz stránka cvičení. Aktuální bodové hodnocení je zde.

Řešení pište prosím čitelně a stručně zdůvodněte postup. Můžete mi odevzdat osobně na cvičení nebo v mojí pracovně v 10. patře (pokud nejsem přítomen tak na sekretariátě UTF). Alternativně mi můžete řešení poslat e-mailem v .pdf nebo .jpg formátu, ale prosím neposílejte soubory větší než 1MB e-mailem, ale použijte radši odkaz na uložiště. Úkoly odevzdané příliš po termínu (mám jistou toleranci, ale moc ji prosím nepřepínejte) se počítají do zápočtu, ale ne do soutěže o prémii či odpuštění zápočtové písemky.  

Doporučené doplňkové přednášky:

Interpretace QM, Pavel Krtouš NTMF036 (ZS, jednou za dva roky), Teorie grup a její aplikace ve fyzice, Karel Houfek NTMF061 (ZS, každoročně).


Podrobný sylabus přednášky:

Základní literatura přibližně v rozsahu přednášky je [1]. V sylabu v závorce je uvedena další doporučená literatura pro doplnění dané látky a odkaz na kopii poznámek. Některá témata jsou uvedena pro plynulost výklad u doplnění dané látky, ale nebudu je přímo zkoušet. Tato témata jsou v sylabu vyznačena šedě. Sytá černá barva označuje zkoušená témata.

1. Úvodní poznámky (Ballentine [4] - Introduction) - Poznámky

Základní aspekty kvantového chování: diskrétní charakter, interference a difrakce, statistický charakter, vliv měření na stav systému. Modelové příklady kvantového chování: Stern-Gerlachův experiment a interference na dvouštěrbině.

2. Formalismus kvantové teorie I (Sakurai [3] kapitola 1 nebo Ballantine [4] kapitola 1, nebo Formánek [2] dodatek A,B a kapitola 1) - Poznámky

Lineární vektorové prostory (LVP), skalární součin, Rieszův teorém a Diracova notace, lineární operátory, sdružený operátor, projektory. Reprezentace vektorů a operátorů v konečně dimenzionálních prostorech. Vlastní čísla a vlastní vektory matic.

Základní postuláty kvantové mechaniky. Příklad aplikace na částici se spinem 1/2 (Stern-Gerlachův experiment) - Poznámky

Přechod k jiné bázi v LVP, unitární transformace.

Nekompatibilní pozorovatelné a relace neurčitosti.

Komutující operátory a jejich vlastní vektory, úplný systém komutujících operátorů. 

Skládání systémů. Direktní součet a direktní součin Hilbertových prostorů. Příklady: kvantové tečky, částice se spinem, více částic.

Časový vývoj stavu - Schrodingerova rovnice. Stacionární stavy. Integrály pohybu.

3. Formalismus kvantové teorie II (Sakurai [3] kapitola I nebo Ballentine [4] kapitola 1, nebo Formánek [2] dodatek A,B a kapitola 1) - Poznámky

Nekonečně-dimenzionální LVP, Hilbertův prostor. Separabilní prostor a báze. Duální prostor. Diracova delta-funkce.

Operátory v Hilbertově prostoru. Samosdružené operátory, normální operátory. Spektrum a spektrální teorém. - Poznámky

"Rigged Hilbert space". Baze v Hilbertově prostoru normalizovaná k delta-funkci a spektrální rozklad. Komutující operátory a spektrální rozklad.

Spojité spektrum a měření. Rozdělovací funkce jako hustota pravděpodobnosti. Statistické veličiny (momenty rozdělovací funkce).

4. Příklady jednoduchých systémů (Ballentine [4] kapitola 4,6, Formánek [2] kapitola 2) - Poznámky

Volná částice v 1D. Poloha a hybnost, x a p reprezentace. Energie. Částice v konstantním elektrickém poli.

Lineární harmonický oscilátor v 1D, stacionární stavy. Algebraické řešení na základě komutačních relací. Řešení v x a p reprezentaci.

Příklady dalších analyticky řešitelných modelů (potenciálů), obecné vlastnosti stacionárních stavů v 1D potenciálech, potenciálová jáma, oscilační věta.

5. Částice ve 3D (Ballentine [4] 7.1.-7.3. a Formánek [2] kapitola 2) - Poznámky

Volná částice. Poloha a hybnost.

Kvantová teorie momentu hybnosti. Obecné vlastnosti plynoucí z komutačních relací. Orbitální moment hybnosti. Sférické harmoniky.

Stacionární stavy s definovaným momentem hybnosti v p a x reprezentaci, radiální Schrodingerova rovnice, sférické cylindrické funkce, normování k delta-funkci.

Stacionární stavy částice v Coulombickém poli. Spektrum částice a vlnové funkce.

Harmonický oscilátor ve 3D a izotropní harmonický oscilátor. Obecně o separaci proměnných a redukci vícedimenzionálních úloh do dimenzí nižších.

Redukce dvoučásticového systému na částici ve vnějším poli a pohyb těžiště.

6. Kvantová statistika, matice hustoty (Formánek, Ballentine) POZNÁMKY

Popis smíšeného stavu pomocí statistického souboru a matice hustoty. Popis měření pomocí matice hustoty. Pravděpodobnosti, střední hodnoty a stav po měření.

Vlastnosti matice hustoty. Stopa, čistý stav, časový vývoj. Wignerova reprezentace.

Matice hustoty pro složený systém. Redukovaná matice hustoty

7. Více o časovém vývoji ve kvantové mechanice (Formánek [2] kapitola 3,4, Ballentine 4.8., Cohen-Tannoudji [5]) - Poznámky

          Rovnice kontinuity a tok hustoty pravděpodobnosti.

Evoluční operátor a Greenův operátor. Souvislost s rezolventou a s Greenovou funkcí časové Schrodingerovy rovnice. Retardovaný a advancovaný Greenův operátor.

Gaussovský vlnový balík a jeho časový vývoj.

Časový vývoj ve Schrodingerově a Heisenbergově obraze. Ehrenfestův teorém. Aplikace na Gaussovský vlnový balík.

Propagátor a metoda Feynmanovy funkcionální integrace. 

8. Částice v magnetickém poli (Ballentine [4] kapitola 11) - Poznámky

Lagrangeovský a Hamiltonovský popis pohybu nabité částice v magnetickém poli v klasické fyzice, kvantový popis a Schrodingerova rovnice pro částici v magnetickém poli.

Kvantování pohybu částice v konstantním magnetickém poli. Spektrum Hamiltoniánu a Landauovy stavy. Jejich interpretace.

Kalibrační transformace a invariance Schrodingerovy rovnice. Invariance dalších veličin, hustota proudu pravděpodobnosti v magnetickém poli.

Aharonovův-Bohmův jev a jeho interpretace.

Atom ve slabém magnetickém poli. Zeemanův jev.

Doporučená literatura

Doporučuji rovněž stánky doc. Pavla Cejnara, který učil Kvantovou mechaniku v loňském roce, především sbírku vzorců a sérii popularizačních článků "Kvantové hlavolamy" v časopise Vesmír.

[1] P. Cejnar: A Condensed Course of Quantum Mechanics (Karolinum 2013).

[2] J. Formánek: Úvod do kvantové teorie.

[3] J.J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley, Reading, 1985, 1994)

[4] L.E. Ballentine: Quantum Mechanics. A Modern Development (World Scientific, Singapore, 1998)

[5] Cohen-Tannoudji, Diu, Laloe: Quantum Mechanics (Wiley 2006)