Anotace:
Diferencovatelné variety a tečné prostory.
Fibrované prostory a vektorové bandly.
Tenzorový počet.
Zobrazení variet, difeomorfismy, Lieova derivace.
Vnější kalkulus.
Riemannova a pseudoriemannova geometrie.
Kovariantní derivace na vektorových bundlech, paralelní přenos, prostor konexí.
Kovariantní derivace na tečném bundlu, geodetiky, torze.
Křivost.
Metrické derivace, Levi-Civitova derivace.
Vztah Lieovy, vnější a kovariantní derivace, kovariantní vnější derivace.
Integrování na varietách a podvarietách, hustoty, integrální věty.
Přednáška je určena zejména pro zájemce o teoretickou fyziku v závěru bakalářského či začátkem magisterského studia.
Na přednášku navazuje předmět NTMF060 – Geometrické metody teoretické fyziky II.
Konání přednášky v ZS 2026:
Tento semestr výuku vedou všichni tři přednášející.
Přednáška je rozvržena v úterý dopoledne od 9:00 do 10:30 v posluchárně T2 a ve čtvrtek dopoledne od 9:00 do 10:30 v posluchárně T1.
Některé přednášky budou zaznamenávány. Záznamy s polu se záznamy z minulých let jsou k dispozici na zvláštní stránce, jejíž adresa byla rozeslána zapsaným studentům.
Pokud má někdo zájem sledovat záznamy přednášek bez zápisu, ať se obrátí emailem na přednášejícího.
Přednášky probíhají v češtině. K dispozici jsou též záznamy přednášek v angličtině.
Zkouška, cvičení a konzultace mohou probíhat jak v češtině, tak v angličtině.
Zkouška:
Zkouška probíhá prezenční formou.
Studentovi jsou zadány dvě teoretické otázky a jeden problém obdobný těm řešeným na cvičení. Student má na přípravu dostatečný čas, typicky 90 min.
Zápočet
K udělení zápočtu bude potřeba rozumná účast na cvičení a odevzdání řešení zápočtového problému.
Zápočtový problém bude zveřejněn v druhé polovině semestru. Termín odevzdání řešení je konec zkouškového období zimního semestru.
Sylabus:
- Diferencovatelné variety
- základy topologie, diferencovatelná struktura, tečné prostory, vektorová a tenzorová pole, Lieovy závorky
- Fibrované prostory
- obecné fibrované prostory, vektorové bandly, tečné tenzorové bandly
- Tenzorový počet
- vektorový prostor a jeho duál, tenzorový součin, multi-lineární zobrazení tenzorů, transformace komponent, značení tenzorů
- Zobrazení variet a Lieova derivace
- zobrazení variet, indukované zobrazení, difeomorfismy, tok, Lieova derivace
- Vnější kalkulus
- vnější součin, vnější derivování, exaktní a uzavřené formy
- Riemannova a pseudoriemannova geometrie
- metrika, signatura metriky, délka křivky a vzdálenost, Hodgeův duál, Levi-Civitův tenzor, koderivace
- Kovariantní derivace na vektorových bundlech
- paralelní přenos ve vektorovém bandlu, kovariantní derivování, kovariantní diferenciál; prostor kovariantních derivací, pseudoderivace, rozdíl dvou konexí a rozdílový tenzor; trivializace, komponenty konexe
- Kovariantní derivace na tečném bundlu
- geodetiky, normální souřadnice; tenzor torze; souřadnicová derivace, n-ádová derivace, Ricciho (spinové) koeficienty
- Křivost
- operátor a tenzor křivosti, Bianchiho identity, zákon zachování; Riemannův tenzor, komutátor kovariantních derivací pro skalár a obecný tenzor, Ricciho a Einsteinův tenzor
- Metrické derivace, Levi-Civitova kovariantní derivace
- metricita, tenzor kontorze a torze; jednoznačnost Levi-Civitovy derivace, Christoffelovy symboly, Cartanovy rovnice struktury; symetrie tenzoru křivosti, ireducibilní části Riemanova tenzoru, Weylův tenzor, skalární křivost, Einsteinův tenzor
- Vztah Lieovy, vnější a kovariantní derivace
- vyjádření Lieovy a vnější derivace, kovariantní vnější derivace; Killingovy vektory a symetrie
- Integrování na varietách
- integrovatelné hustoty, vztah k antisymetrickým formám, integrování forem a hustot; tenzor orientace, hustotní duál, metrický objemový element; divergence tenzorových hustot, kovariantní derivace hustot, derivace anihilující objemový element
- Integrální věty
- podvariety, přizpůsobené souřadnice, tečný a normálový prostor, integrování přes podvariety; zobecněná Stokesova věta pro formy; normálová a tečná restrikce tenzorových hustot na podvarietu, Gaussova věta
Studijní texty:
Vedle literatury uvedené níže jsou k dispozici texty speciálně k této přednášce:
Literatura:
- C. W. Misner, K. S. Thorne a J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.
- S. W. Hawking a G. F. R. Ellis: The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge Univ. Press, 1973.
- R. Wald: General Relativity, Univ. of Chicago Press, 1984.
- R. Penrose a W. Rindler: Spinors and space-time, vol. Cambridge Univ. Press, 1999.
- M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, 2004.
- T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.
- Ch. J. Isham: Modern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.
- C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.
- S. Kobayashi a K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.
- M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.
- J. M Lee: Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics Vol. 107, AMS, 2009.