Referenční signál v různých soustavách
Naším cílem nyní bude nalézt transformační vztahy mezi dvěmi inerciálními soustavami souřadnic. Pro jednoduchost zvolíme soustavy tak, aby měly společný počátek a aby se vůči sobě pohybovaly ve směru osy x a x'.
Již jsme se zmínili, že vzhledem k jedné zvolené inerciální soustavě jsou světočáry všech ostatních inerciálních pozorovatelů posány lineárními vztahy. Z konstrukce nadplochy současnosti a homogenity prostoročasu již pak vyplývá, že i tato nadplocha je dána lineárními vztahy.
Očekáváme tedy, že transformace mezi dvěmi sadami inerciálních souřadnic budou lineární.
Princip ekvivalence nám dále říká, že referenční signál se šíří ve všech soustavách stejnou rychlostí c. Uletí-li vzhledem k modré inerciální soustavě vzdálenost Δx za čas Δt, můžeme psát
– (c Δt)2 + Δx2 = 0 .
Obdobně v souřadnicích zelené soustavy
– (c Δt' )2 + Δx' 2 = 0 .
Oba tyto vztahy jsou navzájem ekvivalentní – vztah v modré soustavě je splněn právě tehdy když je splněn vztah v zelené soustavě. Složitě řečeno, jsou-li nulové, jsou si levé strany těchto podmínek rovny.