Kvantová mechanika I - NTMF066 (ZS 2014-15)
Aktuality: V akademickém roce 2015/16 alternuje prof. Cejnar. Nashledanou v roce 2016/17. Zde jsou loňské stránky:
(8.1.2015) Finalizoval jsem letošní sylabus (níže). Základem pro zkoušku je dobré zvládnutí kapitol 2, 3 a 7. Odvození v kapitole 4 berte jako orientační, rád bych, abyste tušili souvislosti, detailní odvození z této kapitoly zkoušet nebudu. Kapitoly 5, 6, 8 jsou rovněž důležité, i když chápu, že si asi nebudete pamatovat všechny konstanty ve všech speciálních funkcích, ale měli byste znát výsledky a základní věci (potenciálová jáma, lineární oscilátor, moment hybnosti, Coulombické pole) umět odvodit.
(6.1.2015) Vypsal jsem termíny zkoušek 13., 15., 29. ledna a 5. a 12. února, vždy v 9 hodin v mé pracovně. Pokud by někomu termíny moc nevyhovovaly, dá se dohodnout individuálně (pošlete e-mail).
(5.1.2015) Na stránkách cvičení jsem aktualizoval výsledky písemky a vzorové řešení. Poslední domácí úloha má termín odevzdání do konce semestru, tj. 9. ledna.
Zápočtová písemka proběhla ve čtvrtek 18. prosince podrobnosti viz stránka cvičení k přednášce.
Na cvičení k přednášce je možno získat 50 bodů za domácí úkoly a 50 bodů za test. Pro získání zápočtu potřebuje student 50 bodů. Při zisku 75 a více bodů odpouštím příklad u zkoušky. Za zisk alespoň 90 bodů bude zvláštní prémie (patrně tričko s kvantově mechanickou tematikou). Získání dodatečných bodů viz stránka cvičení.
Doporučené doplňkové přednášky:
Interpretace QM, Pavel Krtouš NTMF036 (ZS, jednou za dva roky), Teorie grup a její aplikace ve fyzikce, Karel Houfek NTMF061 (ZS, každoročně)
Podrobný sylabus přednášky (loňská verze šedě, aktuální-předneseno černě):
Základní literatura přibližně v rozsahu přednášky je [1] (zatím jsme probrali přibližně kapitoly 1, 2 - bez nerozlišitelných částic a bez kvantové statistiky, dále úvod k momentu hybnosti - ladder operators ze 4.1 a kapitolu 6 o rozptylu). V sylabu v závorce je uvedena další doporučená literatura pro doplnění dané látky.
1. Úvodní poznámky (Ballentine [4] - Introduction) - Poznámky
Základní aspekty kvantového chování: diskrétní charakter, interference a difrakce, statistický charakter, vliv měření na stav systému.
2. Formalismus kvantové teorie I (Sakurai [3] kapitola 1 nebo Ballantine [4] kapitola 1, nebo Formánek [2] dodatek A,B a kapitola 1) - Poznámky
Lineární vektorové prostory (LVP), skalární součin, Rieszův teorém a Diracova notace, lineární operátory, sdružený operátor, projektory. Reprezentace vektorů a operátorů v konečně dimenzionálních prostorech. Vlastní čísla a vlastní vektory matic.
Základní postuláty kvantové mechaniky. Příklad aplikace na částici se spinem 1/2 (Stern-Gerlachův experiment) - Poznámky
Přechod k jiné bázi v LVP, unitární transformace.
Nekompatibilní pozorovatelné a relace neurčitosti.
Komutující operátory a jejich vlastní vektory, úplný systém komutujících operátorů.
Skládání systémů. Direktní součet a direktní součin Hilbertových prostorů. Příklady: kvantové tečky, částice se spinem, více částic.
3. Formalismus kvantové teorie II (Sakurai [3] kapitola I nebo Ballentine [4] kapitola 1, nebo Formánek [2] dodatek A,B a kapitola 1) - Poznámky
Nekonečně-dimenzionální LVP, Hilbertův prostor. Separabilní prostor a báze. Duální prostor. Diracova delta-funkce.
Operátory v Hilbertově prostoru. Samosdružené operátory, normální operátory. Spektrum a spektrální teorém. - Poznámky
"Rigged Hilbert space". Baze v Hilbertově prostoru normalizovaná k delta-funkci a spektrální rozklad. Komutující operátory a spektrální rozklad.
Spojité spektrum a měření. Rozdělovací funkce jako hustota pravděpodobnosti. Statistické veličiny (momenty rozdělovací funkce).
4. Důsledky Galileiho invariance (Ballentine [4] kapitola 3) - Poznámky
Galileiho grupa a její generátory. Působení grupy na stavový prostor.
Komutační relace generátorů grupy.
Operátor polohy, jeho vlastní vektory a vlastní čísla, operátor rychlosti. Interpretace generátorů Galileyho grupy na základě kumutačních relací.
Operátory hybnosti, momentu hybnosti a Hamiltoniánu. Schrodingerova rovnice pro bezstrukturní částici v elektrickém a magnetickém poli.
5. Příklady jednoduchých systémů (Ballentine [4] kapitola 4,6, Formánek [2] kapitola 2) - Poznámky
Volná částice v 1D. Poloha a hybnost, x a p reprezentace. Energie. Částice v konstantním elektrickém poli.
Lineární harmonický oscilátor v 1D, stacionární stavy. Algebraické řešení na základě komutačních relací. Řešení v x a p reprezentaci.
Příklady dalších analyticky řešitelných modelů (potenciálů), obecné vlastnosti stacionárních stavů v 1D potenciálech, potenciálová jáma, oscilační věta.
6. Částice ve 3D (Ballentine [4] 7.1.-7.3. a Formánek [2] kapitola 2) - Poznámky
Volná částice. Poloha a hybnost.
Kvantová teorie momentu hybnosti. Obecné vlastnosti plynoucí z komutačních relací. Orbitální moment hybnosti. Sférické harmoniky.
Stacionární stavy s definovaným momentem hybnosti v p a x reprezentaci, radiální Schrodingerova rovnice, sférické cylindrické funkce, normování k delta-funkci.
Stacionární stavy částice v Coulombickém poli. Spektrum částice a vlnové funkce.
Harmonický oscilátor ve 3D a izotropní harmonický oscilátor. Obecně o separaci proměnných a redukci vícedimenzionálních úloh do dimenzí nižších.
Redukce dvoučásticového systému na částici ve vnějším poli.
7. Více o časovém vývoji ve kvantové mechanice (Formánek [2] kapitola 3,4, Ballentine 4.8., Cohen-Tannoudji [5]) - Poznámky
Stacionární stavy. Integrály pohybu. Rovnice kontinuity a tok hustoty pravděpodobnosti.
Evoluční operátor a Greenův operátor. Souvislost s rezolventou a s Greenovou funkcí časové Schrodingerovy rovnice. Retardovaný a advancovaný Greenův operátor.
Gaussovský vlnový balík a jeho časový vývoj.
Časový vývoj ve Schrodingerově a Heisenbergově obraze. Ehrenfestův teorém. Aplikace na Gaussovský vlnový balík.
Propagátor a metoda Feynmanovy funkcionální integrace.
8. Úvod do teorie rozptylu (Formánek [2] kapitola 3,4, Cohen-Tannoudji [5]) - Poznámky
Integrální rovnice pro Greenův operátor a pro vlnovou funkci. Časový vývoj vlnového balíku v potenciálu konečného dosahu a souvislost s řešením bezčasové Schrodingerovy rovnice.
Pravděpodobnost odrazu a průchodu potenciálovou bariérou. Diferenciální a integrální účinný průřez rozptylu. Souvislost s asymptotikou stacionárních stavů. Amplituda rozptylu.
Lippmann-Schwingerova rovnice, Mollerovy operátory a jejich vlastnosti, operátor přechodu (T-matice), rozptylový operátor (S-matice).
Bornova řada pro Greenovy funkce, T-matici, vlnovou funkci. Bornova aproximace.
Rozptyl na sféricky symetrickém potenciálu. Řešení na základě Schrodingerovy rovnice a Lippmannovy-Schwingerovy rovnice, radiální Schrodingerova rovnice a integrální rovnice pro parciální vlny.
Rozklad amplitudy rozptylu a účinného průřezu do parciálních vln. Fázové posunutí. Jeho určení pro konkrétní potenciál.
Podmínka unitarity a optický teorém.
Rozptyl na Coulombickém poli.
8. Částice v magnetickém poli (Ballentine [4] kapitola 11)
Lagrangeovský a Hamiltonovský popis pohybu nabité částice v magnetickém poli v klasické fyzice, kvantový popis a Schrodingerova rovnice pro částici v magnetickém poli.
Kvantování pohybu částice v konstantním magnetickém poli. Spektrum Hamiltoniánu a Landauovy stavy. Jejich interpretace.
Kalibrační transformace a invariance Schrodingerovy rovnice. Invariance dalších veličin, hustota proudu pravděpodobnosti v magnetickém poli.
Aharonovův-Bohmův jev a jeho interpretace.
Atom ve slabém magnetickém poli. Zeemanův jev.
Doporučená literatura
Doporučuji rovněž stánky doc. Pavla Cejnara, který učil Kvantovou mechaniku v loňském roce, především sbírku vzorců a sérii popularizačních článků "Kvantové hlavolamy" v časopise Vesmír.
[1] P. Cejnar: A Condensed Course of Quantum Mechanics (Karolinum 2013).
[2] J. Formánek: Úvod do kvantové teorie.
[3] J.J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley, Reading, 1985, 1994)
[4] L.E. Ballentine: Quantum Mechanics. A Modern Development (World Scientific, Singapore, 1998)
[5] Cohen-Tannoudji, Diu, Laloe: Quantum Mechanics (Wiley 2006)