Anotace:
Tenzorový počet.
Diferencovatelné variety a tečné prostory.
Zobrazení variet a Lieova derivace.
Vnější kalkulus.
Riemannova a pseudoriemannova geometrie.
Kovariantní derivace, torze a křivost,
prostor konexí,
Levi-Civitova konexe,
vztah Lieovy, vnější a kovariantní derivace.
Variety s hranicí a podvariety, podmínky integrability.
Integrování na varietách, hustoty.
Integrální věty.
Přednáška je určena zejména pro zájemce o teoretickou fyziku v závěru bakalářského či začátkem magisterského studia.
Na přednášku navazuje předmět NTMF060 – Geometrické metody teoretické fyziky II.
Konání přednášky:
Přednáška a cvičení se konaly ve středu odpoledne od 13:10 do 16:20.
Přednáška probíhala distančně a to formou přednahraných přednášek a cvičení pomocí aplikace Zoom.
Záznamy přednášek a informace o cvičeních jsou k dispozici na zvláštní stránce, jejíž adresa byla rozeslána zapsaným studentům.
Zkouška:
Preferovaná je prezenční forma zkoušky. Nicméně je možná i distanční varianta.
To s sebou nese restriktivnější podmínky na průběh zkoušky oproti minulým letem. Konkrétně, před zkouškou bude k dispozici nejvýše 90 min přípravy. Student dostane zadán jeden příklad a dvě teoretické otázky.
Během výuky nebudou termíny vypisované v SISu. Je však možné si dohodnout zkouškový termín s přímo s vyučujícím. Ve zkouškovém období letního semestru budou také vypsány ještě nějaké termíny i pro tento předmět.
Distanční forma zkoušky
Distanční zkouška bude probíhat přes zoom. V tomto případě musí být student schopen zajistit kontinuální snímání prostoru zkoušení kamerou a musí být schopen naskenovat/vyfotit a zaslat v reálném čase přípravu vypracovanou před zkouškou. Dále musí být student schopen psát čitelně na tabuli/papír/obrazovku v průběhu zkoušky a to při zachování záběru na zkoušeného.
Na konkrétní realizaci se lze dohodnout individuálně včas před zkouškou.
Zápočet:
K udělení zápočtu bylo potřeba odevzdat řešení zápočtového problému.
Sylabus:
- Tenzorový počet
- vektorový prostor a jeho duál, tenzorový součin, multi-lineární zobrazení tenzorů, transformace komponent, značení tenzorů
- Diferencovatelné variety
- základy topologie, diferencovatelná struktura, tečné prostory, vektorová a tenzorová pole, Lieovy závorky
- Zobrazení variet a Lieova derivace
- zobrazení variet, indukované zobrazení, difeomorfismy, tok, Lieova derivace
- Vnější kalkulus
- vnější součin, vnější derivování, exaktní a uzavřené formy, Poincareho lemma
- Riemannova a pseudoriemannova geometrie
- metrika, signatura metriky, délka křivky a vzdálenost, Hodgeův duál, Levi-Civitův tenzor, koderivace
- Kovariantní derivace
- paralelní přenos, kovariantní derivování, kovariantní diferenciál, geodetiky, normální souřadnice; tenzor torze, Riemannův tenzor, komutátor kovariantních derivací pro skalár a obecný tenzor, Bianchiho identity, Ricciho tenzor
- Prostor kovariantních derivací
- pseudoderivace, rozdíl dvou konexí a rozdílový tenzor, souřadnicová deriace, souřadnice kovariantní derivace, n-ádová derivace, Ricciho (spinové) koeficienty, derivace anihilující metriku, tenzor kontorze
- Levi-Civitova kovariantní derivace
- metrická derivace, Christoffelovy symboly, symetrie tenzoru křivosti
- Vztah Lieovy, vnější a kovariantní derivace
- vyjádření Lieovy a vnější derivace; Killingovy vektory a symetrie
- Integrování na varietách
- integrovatelné hustoty, vztah k antisymetrickým formám, integrování forem a hustot; tenzor orientace, metrický objemový element; divergence tenzorových hustot, kovariantní derivace hustot, derivace anihilující objemový element
- Integrální věty
- zobecněná Stokesova věta pro formy
Studijní texty:
Vedle literatury uvedené níže jsou k dispozici texty speciálně k této přednášce:
Literatura:
- C. W. Misner, K. S. Thorne a J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.
- S. W. Hawking a G. F. R. Ellis: The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge Univ. Press, 1973.
- R. Wald: General Relativity, Univ. of Chicago Press, 1984.
- R. Penrose a W. Rindler: Spinors and space-time, vol. Cambridge Univ. Press, 1999.
- M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, 2004.
- T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.
- Ch. J. Isham: Modern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.
- C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.
- S. Kobayashi a K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.
- M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.
- J. M Lee: Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics Vol. 107, AMS, 2009.