Relativistický popis

53© 2004, verze 1.05D (2005-10-07); Pavel Krtouš

Časové intervaly

Zmínili jsme se, že prostoročas je `vybaven' Minkowského geometrií. Ta nám umožní určit časové úseky a vzdálenosti nezávisle na tom, v které soustavě situaci popisujeme. Nejdříve si však musíme ujasnit, co pod měřením časových úseků a délek rozumíme.

Zkoumejme dvě události Z a K, které se odehrály v letící raketě. Z hlediska pozorovatelky na raketě je jasné, co časový úsek mezi oběma událostmi znamená. Události se totiž z jejího hlediska staly na stejném místě a stačí jí tak pouze odečíst dobu To na svých ideálních hodinách – tento údaj nazýváme vlastní (klidový) čas mezi Z a K.

Pozorovatel na Zemi však chce časový úsek mezi Z a K změřit na svých hodinách. Raketa se ale vůči Zemi pohybuje a události Z a K se nestaly z hlediska pozemského pozorovatele na stejném místě. Jediné, co může pozorovatel udělat, je změřit dobu T mezi Z a okamžikem K', který se stal na stejném místě jako Z a je s K současný. Současný samozřejmě z hlediska pozorovatele na Zemi.

Pozorovatel na Zemi tak měří jakýsi průmět časového úseku ZK do své časové osy. Není tedy divu, že oba pozorovatelé naměří různé hodnoty – měří jiné veličiny!

Vztah mezi To a T je dán Minkowského trigonometrií obdobnou té obyčejné, rovinné. Jen místo funkce cos je nutno použít hypergoniometrickou funkci ch. Po vyjádření rapidity β pomocí rychlosti dostaneme známý vzorec pro prodlužování času.

Relativistické měření časových intervalů je tak přímá paralela s žížalím měření výšek. Různě skloněné žížaly měří různé průměty žížaly do své vertikální osy a naměří tak různé hodnoty. Pokud jsou žížaly od sebe odkloněny jen nepatrně, rozdíly ve výšce jsou zanedbatelné. Stejně tak při běžných rychlostech rozdíly v časových údajích měřenými různými pozorovateli nepozorujeme.

Povšimněmě si, že prostoročasový interval s2 mezi oběma událostmi je dán výrazem s2 = – c2To2. Interval však můžeme spočíst v libovolné jiné soustavě, což nám dává další obecný vzorec pro vlastní čas mezi časupodobně položenými událostmi Z a K

c To = ( c2Δt 2 – Δx 2 )1/2 .

Zde Δt a Δx jsou rozdíly souřadnic obou událostí. Dosazením Δt = T a Δx = v T opět dostaneme známý vztah mezi To a T uvedený na obrázku.