Teoretická mechanika

NOFY003, 3/2, Zk/Z
prof. Jiří Podolský, doc. Jiří Langer

Anotace:

Mechanika hmotných bodů a tuhého tělesa. Teorie kontinua.

Obsah:

Plán přednášek:


Předehra, motivace, nástin obsahu a opakování
Užitečnost alternativních formulací téhož problému ve fyzice. Ilustrace na teoriích gravitace: Newtonova gravitační síla -> Poissonova rovnice (pole potenciálu) -> Einsteinova rovnice (pole metriky, obecná teorie relativity). Teoretická mechanika jakožto vyslovování Newtonových pohybových zákonů jinými způsoby pro hmotné body, tuhé těleso i kontinuum. Zopakování základních pojmů mechaniky, Newtonových pohybových zákonů a bude-li čas i mezí platnosti mechaniky klasické (mechanika relativistická a kvantová).

Pohyb hmotných bodů podrobených vazbám
Síly vtištěné versus reakce podložky. Implicitní popis plochy, normála. Lagrangeovy rovnice I.druhu (intuitivní zavedení, rozbor a ilustrace na jednoduchých příkladech). Obecný tvar rovnic pro N hmotných bodů, v vazeb. Klasifikace vazeb: jednostranná - oboustranná, holonomní - neholonomní, skleronomní - rheonomní. Virtuální posunutí a dynamika systému s vazbami: d'Alembertův princip. Důsledky principu: Newtonovy rovnice pro pohyb bez vazeb, hledání rovnováhy pomocí principu virtuální práce, ekvivalence s Lagrangeovými rovnicemi I.druhu.

Lagrangeovy rovnice II.druhu
Zobecněné souřadnice aneb nepoužívejme jen (x,y,z). Occamova břitva aneb nepoužívejme více souřadnic, než kolik je nezbytně nutno. Konfigurační prostor: Zénónův paradox šípu a nezávislost zobecněných rychlostí na zobecněných souřadnicích. Odvození Lagrangeových rovnic II.druhu. Lagrangeova funkce L : případ bez potenciálu, s potenciálem, se zobecněným potenciálem (pohyb částice v elektromagnetickém poli). Ilustrace jak elegantně dospět k pohybovým rovnicím na příkladě cykloidálního kyvadla.

Pravidla, metody a triky Lagrangeova formalismu
Kuchařka pro sestavení pohybových rovnic (vhodná volba zobecněných souřadnic, vyjádření T a V v těchto souřadnicích, sestavení L , příslušné derivace, jejich dosazení do Lagrangeových rovnic II.druhu). Ilustrace: pohyb částice v poli centrální síly. Metody a triky integrace pohybových rovnic: hledání přibližného řešení pomocí linearizace (matematické kyvadlo), hledání integrálů pohybu (cyklické souřadnice -> zachování zobecněných hybností, explicitní nezávislost L na čase -> zachování zobecněné energie). Ilustrace: Binetův vzorec pro pohyb v centrálním poli.

Pohyb planet a další aplikace
Keplerova úloha neboli obíhání planet v gravitačním poli Slunce. Odvození Keplerových zákonů. Metoda efektivního potenciálu. Srovnání klasické a relativistické mechaniky: pohyb kolem Slunce versus pohyb kolem černé díry, stáčení perihélia. Převedení problému dvou těles na pohyb částice s redukovanou hmotností v poli centrální síly. Problém 3 těles a nebeská mechanika, několik slov o chaosu. Rozptyl částic, efektivní průřez a Rutherfordův vztah.

Hamiltonův variační princip
Základy variačního počtu (motivace a vysvětlení pojmu extremála: Fermatův princip, brachystochrona, geodetiky v obecné teorii relativity). Odvození podmínky pro extremálu: Eulerovy-Lagrangeovy rovnice. Definice akce a Hamiltonův variační princip mechaniky. Jeho hlavní důsledky: Lagrangeovy rovnice II.druhu i I. druhu. Symetrie a zákony zachování (teorém Emmy Noetherové pro invariantní L ). Zmínka o kalibračních transformacích a polích. Náznak zobecnění variačního přístupu pro pole klasické i kvantové.

Hamiltonovy kanonické rovnice a Poissonovy závorky
Zobecněná hybnost neboli kanonicky sdružený impuls. Zavedení fázového prostoru s ukázkami různých pohybů (oscilátor, tlumení, chaos). Hamiltonova funkce. Odvození Hamiltonových kanonických rovnic z Hamiltonova principu i z rovnic Lagrangeových. Ilustrace kanonických rovnic (harmonický oscilátor, částice v elektromagnetickém poli). Význam Hamiltonova formalismu pro kvantovou teorii (Schrödingerova rovnice, Feynmanovy diagramy jakožto rozvoj interakčního hamiltoniánu) a statistickou fyziku (partiční funkce). Definice, základní vlastnosti a algebra Poissonových závorek. Analogie s komutátory v kvantové mechanice.

Kanonické transformace a Hamiltonova-Jacobiho teorie
Kanonické transformace, generující funkce a podmínky kanoničnosti (přehled základních algoritmů, příklad). Analogie s termodynamickými potenciály. Odvození Hamiltonovy-Jacobiho rovnice jakožto důsledku vhodné kanonické transformace, algoritmus jejího řešení, metoda separace proměnných a příklad (volný pád). Aplikace ve fyzice: optika (vlnoplocha -> paprsek), kvantová mechanika (kvaziklasické přiblížení: Schrödingerova rovnice -> Hamiltonova-Jacobiho rovnice), Feynmanova formulace kvantové teorie pomocí dráhových integrálů.

Mechanika tuhého tělesa
Opakování vektorů a tenzorů v Euklidovském prostoru. Grupa konečných rotací a algebra infinitesimálních rotací. Jejich reprezentace pomocí antisymetrických matic a zavedení vektoru úhlové rychlosti jakožto duálu k nim. Otáčení tělesa kolem pevné osy, tenzor setrvačnosti. Vlastní čísla a vektory včetně interpretace elipsoidu setrvačnosti. Kinetická energie rotačního pohybu. Rozklad pohybu na translaci a rotaci (Chaslesova věta). Důsledek pro kinetickou energii (Koenigova věta). Drobná perlička: jednoduché odvození pohybových rovnic v neinerciálním systému z Lagrangeovy funkce.

Eulerovy rovnice a setrvačníky
Eulerovy úhly a Eulerovy kinematické rovnice. Lagrangeova funkce pro tuhé těleso a odvození Eulerových dynamických rovnic. Ukázkové příklady: analýza pohybu symetrického bezsilového setrvačníku.

Teorie kontinua
Přechod od soustavy hmotných bodů ke spojitému prostředí. Ilustrace: hustota Lagrangeovy funkce pro podélné kmity soustavy oscilátorů a příčné kmity struny. Odvození Eulerových-Lagrangeových pohybových rovnic pro spojité prostředí z Hamiltonova principu. Vlnová rovnice a základní metody jejího řešení: a) d'Alembertova metoda, b) separace proměnných (vlastní frekvence, okrajové a počáteční podmínky, Fourierova analýza). Perspektivy: klasická pole a jejich kvantování. Dva možné popisy pohybu kontinua: Lagrange versus Euler. Vektor posunutí a pole rychlosti.

Základní veličiny a rovnice pro popis kontinua
Připomenutí tenzoru malých deformací a tenzoru napětí. Pohybová rovnice obecného kontinua a rovnice kontinuity, podmínky rovnováhy. Reologická klasifikace látek (od tuhé látky po ideální tekutinu). Zobecněný Hookův zákon pro izotropní těleso s interpretací příslušných koeficientů.

Nejzajímavější důsledky rovnic kontinua
Pohybová rovnice izotropního prostředí. Eulerova pohybová rovnice ideální tekutiny a vlny v ní, odvození rychlosti zvuku. Bernoulliova rovnice jakožto 1.integrál. d'Alembertův hydrodynamické paradoxon pro nevířivou a nestlačitelnou ideální tekutinu. Navierova-Stokesova pohybová rovnice pro vazkou tekutinu. Ilustrace: proudění dlouhou trubicí (odvození parabolického rychlostního profilu a Poiseuillova-Hagenova zákona). Krátce o laminárním proudění versus turbulenci a Reynoldsově čísle.

Podmínky pro získání zápočtu

Příklady:

Typický test:

Výsledky:

Modely (FAMULUS) :
demonstrace chaosu (autorem modelů je doc. Dvořák)

Literatura :

 [1]    M. Brdička, A.Hladík: Teoretická mechanika, Academia, Praha, 1987. (P)
 [2]    J. Horský, J. Novotný, M. Štefaník: Mechanika ve fyzice, Academia, Praha, 2001 (P, K)
 [3]    M. Brdička, L. Samek, B. Sopko: Mechanika kontinua, Academia, Praha, 2000. (P, K)
 [4]    H. Goldstein, C. Poole, J. Safko: Classical Mechanics, Addison Wesley, San Francisco, 2002. (P)
 [5]    L. D. Landau, E. M. Lifšic: Mechanika, Fizmatgiz, Moskva, 1958. (P)
 [6]    J. W. Leech: Klasická mechanika, SNTL, Praha, 1970.
 [7]    K. R. Symon: Mechanics, Addison Wesley, Reading, 1971.
 [8]    J. Kvasnica a kol.: Mechanika, Academia, Praha, 1988. (P)
 [9]    V. Trkal: Mechanika hmotných bodů a tuhého tělesa, NČSAV, Praha, 1956.

Kontakt:

© J.Podolský, 3. prosince 2014