Klasická elektrodynamika

materiály k přednášce

NOFY126

prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D.

LS: 2/2 Z Zk - jaro 2021

Anotace:

Maxwellovy rovnice. Statické a stacionární přiblížení. Časově proměnné pole, elektromagnetické záření. Relativistická formulace. Zákony zachování. Matematické metody řešení.

Přednáška navazující na NOFY018. Přednáška je určena pro druhý ročník bakalářského studia fyziky.

Přednáška v současné akreditaci plně nahrazuje dřívější předmět NOFY026. Pod tímto kódem můžete nalézt informace z minulých let včetně ankety.

Konání přednášky:

Přednáška se koná v pondělí od 9:00 do 10:30 hodin v posluchárně T2 v Tróji.

Cvičení jsou rozvržena v termínech:

Přednášku doplňuje předmět NOFY070 - Proseminář z teoretické fyziky, který se koná v pondělí od 16:30 do 18:00 hodin (v případě prezenční výuky v posluchárně T1 v Tróji).

Vzhledem k epidemiologické situaci, minimálně z počátku semestru se přednáška i cvičení konají distančně.

Přednáška

Kurz bude po celý semestr probíhat formou standardního výkladu na tabuli. Jelikož platforma Zoom neposkytuje záruku kvalitního a čitelného přenosu obrazu, jsou přednášky živě streamovány a nahrávány. Stream a záznamy jsou k dispozici na této stránce. Tyto materiály jsou určeny pro zapsané studenty.

Zároveň je otevřena chatová diskuze pomocí aplikace sli.do. Zde mohou studenti vznášet dotazy k přednáškám. Dotazy během přednášky budou zodpovězeny hned, ostatní dotazy budou diskutovány během konzultací či zodpovězeny přímo v chatu.

Konzultace

Po dobu distanční výuky se konají každé pondělí v 16:30 konzultace pro zájemce a to pomocí platformy Zoom. Zoomovská schůzka je otevřená vždy minimálně 10 minut, v případě zájmu samozřejmě déle.

(V této době je rozvržen Proseminář z teoretické fyziky. Během distanční výuky je proseminář přednahráván a záznamy přednášek jsou k dispozici na webu předmětu. Zájemci o konzultace z Klasické elektrodynamiky tak mohou přednášky prosemináře shlédnout po skončení konzultací či podle svých možností.)

Po dohodě s cvičícími jsou možné i individuální konzultace.

Cvičení

Distanční cvičení probíhají pomocí platformy Zoom. Před cvičením jsou zveřejňovány problémy, které se následně na cvičení řeší. Předpokládá se aktivní účast při řešení problémů, což bude zohledněno i při udělování zápočtů - viz podmínky pro zápočet.

Každý student by si tak měl během semestru připravit řešení několika problémů a ty odprezentovat ostatním. Lze využít a podrobně komentovat připravený text sdílený přes Zoom či pomocí grafického tabletu či kamery přímo provádět řešení problému.

Vedle prezentace připravených řešení student může být během cvičení i vyvolán k řešení dalšího problému. Cvičící bude studentovi samozřejmě při řešení nápomocen.

Na tuto eventualitu by studenti měli být technicky připraveni - měli by být schopni buď využít whiteboard Zoomu (ideální s tabletem) či jinou podobnou aplikaci nebo pomocí webové kamery/mobilu snímat text psaný na papíru. K dispozici je k zapůjčení omezený počet webových kamer - v případě zájmu kontaktujte cvičící.

Cvičení jsou nahrávána a záznamy vybraných řešení problémů jsou k dispozici na této stránce.

Podmínky pro zápočet a zkoušku:

Zápočet

Zápočet ze cvičení je nutnou podmínkou pro přistoupení ke zkoušce. Podmínkou pro udělení započtu je zisk alespoň 50 bodů.

Během semestru bude možné získat celkem cca 100 bodů. Proběhne jedna písemka (40 bodů + bonusy) a budou zadány dvě domácí úlohy (2x 10 bodů + bonusy). Za účast na cvičeních bude možné získat až 10 bodů (1 bod za cvičení).

Před každým cvičením budou zveřejněny zadání probíraných příkladů. Každý student by měl běheme semestru aktivně předvést řešení 3-5 těchto příkladů (po 4-8 bodech za příklad). Za aktivní řešení těchto příkladů bude možné získat až 30 bodů + bonusy.

Body bude možno získat i v průběhu zkouškového období za řešení doplňkové/opravné písemky. Jako doplňkovou/opravnou písemku lze použít kteroukoli písemku zadávanou jako součást zkoušky. K započítání bodů za doplňkovou/opravnou písemku je potřeba získat alespoň 8 bodů z maxima 40 bodů.

Zkouška

Zkouška sestává z písemné a ústní části. Písemná část předchází části ústní a její nesplnění (méně než 8 bodů z maxima 40 bodů) znamená, že celá zkouška je hodnocena známkou nevyhověl(a) a ústní částí se již nepokračuje.

Po úspěšném složení písemné části následuje část ústní. Nesložení ústní části znamená, že při příštím termínu je nutno opakovat obě části zkoušky, písemnou i ústní (vyjma případu, že student splňuje podmínku pro odpuštění písemky – viz dále). Známka ze zkoušky se stanoví na základě hodnocení písemné i ústní části.

Písemná část zkoušky je odpuštěna, pokud student dosáhne 90 bodů.

Různé

Získané body lze nalézt po zalogování v SISu v modulu Studijní mezivýsledky.

Požadavky u zkoušky odpovídají aktualizovanému sylabu předmětu odpovídajícímu učivu prezentovanému na přednášce.

Studentům, kteří již absolvovali tento předmět v předchozích letech se započtou získané body snižené každý rok na 70%.

Povaha kontroly splnění podmínek pro udělení zápočtu vylučuje opakování této kontroly, tedy zápočet lze získat pouze podle pravidel popsaných výše.

Komunikace - kontaktní informace:

Diskuze

Během živé přednášky je možné pokládat dotazy skrze chatovací aplikaci slido. Na této stránce vždy naleznete kód aktuální diskuze a link na ní. Při přihlášení vyplňte své jméno.

Při čekání na odpověď během přednášky pamatujte, že stream má cca 40s zpoždění. A též na to, že přednášející bude pravidelně zapomínat diskuzi kontrolovat. Budu se ale snažit občas zareagovat.

Otázky do diskuze můžete pokládat i mimo čas přednášky. Odpovědi se budou buď objevovat přímo v chatu nebo budou diskutovány během konzultace v pondělí v 16:30.

Konzultace

Cvičení

Cvičení probíhají pomocí platformy zoom. Kontaktní informace zoomovských schůzek pro cvičení:

Živé streamování přednášky:

Nejbližší přednáška proběhne 26.4. v 9:00-10:30.

Stream bude spuštěn několik minut před začátkem. Pro připojení bude nutné aktualizovat přehrávač.

Průbežně aktualizovaný sylabus:

Záznamy přednášek:

Průběh přednášek:

Přednášky jsou živě streamované a zároveň nahrávané. Záznam přednášek a jejich obsah je k dispozici níže. Mohou se zde objevit ještě různé doplňkové materiály jako obrázky, texty či extra záznamy. Pro stáhnutí přednášky může být potřeba vybrat v kontextovém menu (pravá myš) uložení odkazu.

Vedle streamovaných přednášek jsou k dispozici ještě dvě přednášky M1 a M2 představující matematický aparát potřebný na přednášce. Zhruba polovina z jejich obsahu je opakování látky, se kterou jste se již setkali, polovina je nová. Představení nového materiálu je nahrazuje první cvičení.

Šestá přednáška, která vyšla na Velikonoční pondělí, nebyla živě streamována, ale je k dispozici jako záznam.

přednáška 1 - 1. 3.

Z důvodu počátečních technických potíží je u části záznamu obraz trochu trhaný. Informační obsah záznamu to však neovlivňuje.

  • Úvod
    Technické záležitosti.
    Obsah přednášky, cvičení, podmínky pro udělení zápočtu, zkouška. Literatura.
    Formulace elektrodynamiky.
    Zdroje, veličiny popisující EM pole, Lorentzova síla, Maxwellovy rovnice, potenciály.
  • Elektrostatika
    Formulace elektrostatiky.
    Zdrojová a potenciálová rovnice, elektrostatická síla, siločáry a trubice toku, Gaussův zákon. Potenciál, integrální definice, nezávislost na cestě integrování, diferenciální vztah, jednoznačnost potenciálu, Poincarého lema. Poissonova rovnice, Laplaceova rovnice, harmonické funkce. Coulombův zákon, sféricky symetrické zdroje.

přednáška M1

  • Matematický formalismus
    Opakování geometrie.
    Euklidovský prostor, body a vektory, skalární součin, kartézská soustava, ortonormální báze.
    Ortogonální souřadnice.
    Křivočaré souřadnice, vektory tečné k souřadnicovým čarám, ortogonální souřadnice, normalizovaná báze, Lamého koeficienty, vektor posunu podél souřadnicových čar. Integrování poddél křivky, plochy a v objemu. Příklady: kartézské, cylindrické a sférické souřadnice. Elipsoidální souřadnice: obecná diskuze, oblé elipsoidální souřadnice, rovnice souřadnicových čar, Lamého koeficienty.

přednáška 2 - 8. 3.

  • Elektrostatika
    Singulární zdroje.
    Regulární a singulární zdroje: plošné, lineární a bodovové rozložení náboje. Podmínky navázání pro plošný zdroj. Objemová hustota singulárních zdrojů.
  • Matematický formalismus
    Základy teorie distribucí.
    Distribuce – zobecnění funkcí. δ-funkce v 1D, motivace, definice, derivace skokové funkce, derivace δ-funkce.
    Distribuce ve 3D
    δ-funkce v 3D, distribuční výpočet zdroje coulumbovského pole.

přednáška M2

  • Matematický formalismus
    Vektorové operátory.
    Gradient funkce, Newtonův vzorec, přírůstek funkce, složky gradientu v ortogonálních souřadnicích, gradient souřadnice. Divergence vektorového pole, Gaussova věta, zdroj pole, divergence v ortogonálních souřadnicích. Rotace vektorového pole, Stokesova věta, víry pole, rotace v ortogonálních souřadnicích. Vlastnosti operátoru. Funkce více argumentů.
    Operátory 2. řádu.
    Laplaceův operátor funkce, Greenova věta, Laplaceův operátor v ortogonálních souřadnicích. Laplaceův operátor vektorového pole, rozklad na kartézské složky. Podmínky pro potenciály.

přednáška 3 - 15. 3.

Z technických důvodů musela být přednáška pro záznam přetočená. Obsahově je však záznam shodný s odstreamovanou verzí přednášky.

  • Matematický formalismus
    Základy teorie distribucí.
    Substituce v δ-funkci v 1D.
    Distribuce ve 3D
    δ-funkce lokalizovaná v bodě, na křivce a na ploše. Distribuční odvození podmínek navázání v přítomnosti plošného náboje.
  • Elektrostatika
    Vodiče.
    Ideální vodič, indukovaný náboj a pole, podmínky pro potenciál a intenzitu. Vkládání vodiče do pole. Pole u uzemněné vodivé sféry. Pole nabitého elipsoidu, nábojová hustota na elipsoidu, limita tenkého disku, nábojová hustota na disku. Síla na vodič, rozklad na vlastní a vnější pole.

přednáška 4 - 22. 3.

Poslední odvození – aplikace Greenovy reciprocity na systém vodičů – bylo na přednášce uspěchané a obsahovalo některé nepřesnosti. Tato část je v záznamu přetočená.

  • Elektrostatika
    Laplaceův operátor.
    Laplaceův operátor, prostor funkcí na oblasti, okrajové podmínky. Symetrie a positivita Lapalceova operátoru. Harmoniky, věta o střední hodnotě, věta o minimu a maximu, jednoznačnost Poissonovy úlohy, metoda obrazů.
    Greenovy funkce.
    Greenova funkce Laplaceova operátoru, řešení Poissonovy úlohy. Greenova funkce v celém prostoru. Dirichletova Greenova funkce na oblasti. Poissonova a Laplaceova úloha se zadaným potenciálem na hranici. Greenova reciprocita.

přednáška 5 - 29. 3.

Na přednášce padla otázka na nesingulárnost matice kapacity. Jak samotný výklad, tak odpověď na otázku nebyly úplné. Proto je do záznamu v čase 0:25-0:35 přidáno úplné odůvodnění, že matice kapacity je nedegenerovaná.

  • Elektrostatika
    Kapacity.
    Systém nabitých vodičů, linearita vztahu potenciálů a nábojů, matice kapacity a její vlastnosti. Matice kapacity pomocí Greenovy funkce. Speciální situace: jeden vodič, obecný kondenzátor, dva vodiče. Vodiče v dutině, matice kapacity pro napětí, stínění.
  • Elektrostatika – pokročilé metody
    Multipólový rozvoj.
    Monopól. Dipól, potenciál, intenzita, nábojová hustota. Síla na dipól ve vnějším poli. Vzdálené pole nábojů, monopól, dipól, kvadrupól.

přednáška 6 - 5. 4. [velikonoční nadílka]

  • Elektrostatika – pokročilé metody
    Multipólový rozvoj.
    Nábojové momenty, tenzorové multipóly, příklady. Rozvoj do Legendreových polynomů a sférických harmonik, sférické multipóly. Axiálně symetrická situace, rozvoj potenciálu podle osy.
    Rozklad do systému funkcí.
    Báze v prostoru funkcí. Prostor řešení Laplaceovy úlohy, vlastní funkce operátoru, systémy vlastních funkcí, ortonormalita a úplnost, komplexní funkce. Příklad v 1D - Fourierova transformace na intervalu a reálné ose.
    Rozklad Greenovy funkce.
    Funkce operátoru, vyjádření v bázi vlastních funkcí, integrální jádro Laplaceova operátoru, Greenovy funkce a δ-funkce.

přednáška 7 - 12. 4.

  • Elektrostatika – pokročilé metody
    Metoda separace proměnných.
    Separace proměnných, multiplikaticní separabilní ansatz, separační konstanty. Separace v kartézských souřadnicích. Laplaceova úloha v kvádru, nenulový potenciál na jedné stěně, výběr funkcí, koeficienty v rozvoji jako Fourierova transformace potenciálu na okraji. Separace ve sférických souřadnicích, separace radiální a úhlových souřadnic, radiální závislost, separace úhlových proměnných, zobecněná Legendreova rovnice, kulové funkce. Relace ortogonality a úplnosti kulových funkcí.
    Rozklad Greenovy funkce.
    Příklad: Greenova funkce Laplaceova operátoru v kvádru.

přednáška 8 - 19. 4.

  • Magnetostatika
    Tok náboje.
    Hustota toku a proud, zákon zachování, konvekční proud. Stacionární situace. Singulární zdroje - plošní proudy a tenké vodiče. Rozložení proudů ve vodičích, ohmické vodiče, Ohmův zákon, Jouleovo teplo.
    Formulace magnetostatiky.
    Rovnice magnetostatiky, Lorentzova síla. Magnetická indukce, indukční čáry, magnetický tok, Ampérův zákon, bezdivergentní charakter čar. Plošné zdroje. Vektorový potenciál, podmínka existence, nejednoznačnost potenciálu, kalibrační volnost, kalibrační podmínka. Poissonova úloha pro vektorový potenciál, řešení. Biotův-Savartův zákon, varianta pro tenké vodiče. Poissonova úloha pro magnetickou indukci, nerotační zdroje.

přednáška 9 - 26. 4.

  • Magnetostatika
    Systémy smyček.
    Pole smyček, skalární magnetický potenciál, Laplaceova úloha pro magnetický potencál, nejednoznačnost potenciálu. Ampérův zákon pro sílu, symetrie působení. Indukčnost, magnetický tok od smyčky, matice indukčnosti, samoindukčnost, aproximace tenkého vodiče.
    Multipólový rozvoj.
    Multipólový rozvoj vektorového potenciálu. Dipólový člen, pole dipólu, kanonická reprezentace dipólu. Síla a moment síly na magnetický dipól ve vnějším poli. Dipól-dipólová interakce.
    Tok náboje.
    Elektromotorická síla.
    Kvazistacionární přiblížení.
    Magnetická síla nekoná práci. Pohyb smyčky v magnetickém poli, elektromotorická síla. Kvazistacionární přiblížení pro pomalu měnící se magnetická pole, Faradayův zákon, zákon toku pro elektromotorickou sílu. Lenzovo pravidlo.
  • Zákony zachování
    Energie v elektrostatice
    Elektrostatický potenciál a potenciální energie. Interakční energie nábojů. Energie elektrostatického systému, vyjádření pomocí potenciálu a intenzity, lokalizace energie, positivita energie. Energie nabité koule, divergentní charakter energie bodového náboje, vztah celkové a interakční energie. Energie systému vodičů.
    Energie v magnetostatice.
    Vlastní energie smyčky, energie systému smyček. Vztahy pro magnetostatickou energii, energie systému smyček pomocí matice indukčnosti.

přednáška 10 - 3. 5.

  • Relativistická formulace
    Relativistická formulace teorie.
    Prostorová a prostoročasová formulace – slovník, invarianty. Zavedení potenciálů.
    Transformační vlastnosti.
    Lorentzovat transformace, transformace toku, 4-potenciálu a příslušných prostorových veličin. Transformace elektrické intenzity a magnetické indukce. Speciální případy a jejich charakterizace pomocí invariantů. Transformační vlastnosti lineární nábojové hustoty a proudu.
    Příklady.
    Přímý vodič s proudem v pohybující se soustavě. Pole rovnoměrně pohybujícího se náboje.

přednáška 11 - 10. 5.

  • Zákony zachování
    Energie, hybnost a jejich toky.
    Hustota elektromagnetické energie, tok elektromagnetické energie, Poyntingův vektor, bilance energie – Poyntingova věta. Hustota hybnosti elektromagnetického pole, tenzor toku hybnosti, tenzor napětí, bilance hybnosti. Prosotočasová formulace, tenzor energie-hybnosti, lokální zákon zachování 4-hybnosti.

přednáška 12 - 17. 5.

  • Časově proměnné pole
    Formulace elektrodynamiky.
    Plné Maxwellovy rovnice. Potenciály, rovnice pro potenciály, kalibrační volnost, kalibrační podmínky. Volné Maxwellovy rovnice, vlnové rovnice pro elektrickou intenzitu a magnetickou indukci.
    Vlnové řešení.
    Vlna šířící se jedním směrem, profilová funkce a fáze, rychlost šíření. Transverzalita vlny, nulovost invariantů. Hustota energie a toku energie vlny. Monochromatická vlna, komplexní reprezentace. Lineární, kruhová a eliptické polarizace vlny.

přednáška 13 - 24. 5.

  • Časově proměnné pole
    Elektrodynamika bez zdrojů.
    Sférické vlny, operátor momentu, ansatz pro vektorový potenciál v Coulombově kalibraci, Debyeův potenciál, TE a TM pole. Řešení skalární vlnové rovnice, separace proměnných, sférické Besselovy funkce.
    Elektrodynamika se zdroji.
    Vlnová rovnice pro potenciály v Lorenzově kalibraci. Prostoročasová formulace. Retardované a advancovaná podmínky, retardovaná a advancovaná Greenova funkce, retardované šíření a kauzalita. Potenciál zadaných zdrojů, příchozí, odchozí a radiační pole. Jefimenkovy vztahy pro elektrickou intenzitu a magnetickou indukci.

přednáška 14 - 31. 5.

  • Časově proměnné pole
    Pole bodového náboje.
    Pole pohybujícího se bodového náboje, Liénardovy-Wiechertovy potenciály, zobecněný Coulombův zákon, Feynmanova formule. Záření urychleného náboje, Larmorova formule, brzdná síla, Diracova regularizace vlastního pole, Abrahamovo-Lorentzovo samopůsobení, problémy pohybové rovnice, 'utíkající' řešení.

Cvičení – záznamy řešených problémů:

zadání: [pdf] řešení: [pdf] [mp4]

Podklady ke cvičení:

Cvičení z Velikonočního pondělí 5. dubna odpadla. Čtvrteční cvičení 8. dubna se normálně proběhla.

Pondělní a čtvrteční cvičení se opět srovnají v týdnu, kdy se bude psát zápočtová písemka (někdy po ukončení magnetostatiky).

cvičení 1
záznamy: pondělí - DK OS MZ čtvrtek - DK PK
cvičení 2
záznamy: pondělí - DK OS MZ čtvrtek - DK PK
cvičení 3
záznamy: pondělí - DK OS MZ čtvrtek - DK PK
cvičení 4
záznamy: pondělí - DK OS MZ čtvrtek - DK PK
cvičení 5
záznamy: pondělí - DK OS MZ čtvrtek - DK PK
cvičení 6
záznamy: pondělí - DK OS MZ čtvrtek - DK PK
cvičení 7
cvičení 8

Ne všechny problémy se stihnou, některé se přesunou na příští cvičení a některé jsou k procvičení navíc.

doplňkové problémy
Tyto problémy se zaměřují na témata zmíněná na přednášce nebo témata rozšiřující vykládanou látku. Jsou určeny zejména pro zájemce. Problémy tohoto typu se neobjeví v písemkách a zde probíraná témata nebudou většinou součástí zkoušené látky. Doplňková látka se nebude objevovat v aktualizovaném sylabu.

Materiály k přednáškám:

Studijní text

Přípravy

Přípravy k přednáškám prof. Krtouše:

V přípravách může být i materiál, který nebyl letos odpřednášen. Tento materiál je vyznačen a nebude zkoušen.

Doplňkové materiály

`Handouty' k předmětu Proseminář z teoretické fyziky (NOFY070):

Proseminář z matematických metod fyziky (NOFY002):

Literatura: