Symetrie rovnic matematické fyziky a zákony zachování (NTMF064)

Letní semestr 2020/2021

Přednáška se letos koná v angličtině (English webpage) každé úterý od 2.3. do 1.6. od 14:50 přes ZOOM
Meeting ID: 915 7116 9924, Passcode: SophusLie

Materiály ke stažení

Poznámka: Ke spuštění notebooků v Mathematice je nutno nejprve otevřít a spustit (kliknout na Run All Code) knihovnu NTMF064.Package.m.

Základní poznámky a notebooky

Kompletní naskenované poznámky v jediném souboru: pdf [55 MB]

Téma     Poznámky ke stažení     Notebooky v Mathematice
Úvodní poznámky a motivace   scan    
Transformace funkcí a derivací při bodových transformacích nezávislých a závislých proměnných   scan, TeX   Change.Of.Variables.nb (pdf)
Pojem lokální Lieovy grupy transformací   scan    
Lieovy teorémy   scan, TeX    
Rozšíření infinitezimálních transformací do prostoru derivací   scan    
Invariance diferenciálních rovnic a infinitezimální kritérium   scan   Test.of.point.symmetries.nb (pdf)
Bodové symetrie pohybové rovnice volné částice v jedné dimenzi   scan   Point.symmetries-Free.particle.in.1D.nb (pdf)
Bodové symetrie klasického centrálního problému   scan   Point.symmetries-Classical.central.problem.in.3D.nb (pdf)
Bodové symetrie rovnice vedení tepla a Schrödingerovi rovnice   scan   Point.symmetries-Heat.equation.in.1D.nb (pdf)
Parciální diferenciální rovnice zadané symetrie - Kleinova-Gordonova rovnice   scan   Poincare.group.and.Klein-Gordon.equation.nb (pdf)
Využití bodových symetrií při řešení ODR - úvod a kanonické proměnné   scan    
Využití bodových symetrií při řešení ODR - metoda diferenciálních invariantů   scan    
Využití bodových symetrií při řešení PDR   scan    
Variační problém a variační symetrie   scan    
Zákony zachování a teorém Noetherové pro bodové symetrie   scan    
Doplňující poznámky a některé vyřešené úlohy

Požadavky ke zkoušce

K úspěšnému zdolání zkoušky je zapotřebí osvojit si čtyři následující témata:

  1. jak najít infinitezimální generátory bodových (zobecněných) symetrií dané diferenciální rovnice (systému diferenciálních rovnic),
  2. jak využít Lieových grup symetrie dané obyčejné, či parciální diferenciální rovnice (systému diferenciálních rovnic) k jejímu zjednodušení, případně k jejímu úplnému vyřešení (nalezení partikulárního řešení),
  3. jak nalézt zákony zachování a integrály pohybu pomocí bodových symetrií Eulerových-Lagrangeových diferenciálních rovnic, které jsou zároveň symetriemi příslušného variačního funkcionálu,
  4. jak určit obecný tvar lineárních (případně nelineárních) diferenciálních rovnic určitého řádu invariantních vůči zadané Lieově grupě bodových transformací.
Dále je třeba porozumět následujícím základním pojmům teorie Lieových grup transformací a jejich aplikace na diferenciální rovnice:

Příklady u zkoušky

Nakonec jsem se rozhodl zveřejnit zadání a snad i správné řešení příkladů, které jsme zadával u zkoušek. Pokud naleznete v řešeních chybu, prosím, informujte mě. Děkuji.

Zde jsou na procvičení zadání jednodušších příkladů (zatím) bez řešení.
yk značí k-tou derivaci funkce y(x) podle x.

    Lieovy grupy transformací a jejich generátory
  1. Ukažte, že projektivní transformace x' = (αx + β)/(γx + δ) tvoří Lieovu grupu bodových transformací. O kolikaparametrickou grupu jde? Určete generátory této grupy a jejich komutátory.
  2. Určete jednoparametrickou Lieovu grupu transformací prostoru R2, jejíž generátor je X = x2x + 2xy∂y a nalezněte obecný tvar nadplochy F(x,y) = 0, která je invariantní při této transformaci.


  3. Zjednodušování a úplná integrace ODR
  4. Ověřte, že diferenciální rovnice y2 - (y1)2 + y = 0 je invariantní vůči translaci nezávislé proměnné, a pomocí metody diferenciálních invariantů snižte řád této nelineární rovnice.


  5. Určení bodových symetrií ODR a obecného tvaru ODR invariantní vůči dané grupě symetrií
  6. Určete dvouparametrickou grupu symetrií Blasiovy rovnice y3 + 1/2 yy2 = 0. (Viz [1], str. 135-136.)
    Využijte věty: Má-li ODR alespoň třetího řádu tvar yn = g(x,y)yn-1 + h(x,y,y1,...,yn-2) a je-li X = ξ(x,y)∂x + η(x,y)∂y generátorem její symetrie, pak ∂ξ/∂y = 0 a 2η/∂y2 = 0.
  7. Dokažte pomocnou větu z předcházejícího příkladu.


  8. Nalezení partikulárního řešení PDR pomocí symetrie
  9. Ověřte, že vlnová rovnice uxx = utt je invariantní vůči škálování x' = αx, t' = αt, u' = u, a určete partikulární řešení invariantní vůči této transformaci.

Doporučená literatura ke zkoušce

Níže uvedená literatura k přednášce je k dispozici ke stažení v "tajném" podadresáři, jehož jméno se dozvíte na přednášce či na požádání (nejlépe zasláním e-mailu na výše uvedenou adresu).

[1]Bluman G W, Anco S C - Symmetry and Integration Methods for Differential Equations, Springer, New York 2002
především kapitoly 2, 3.1-3.5, 4.1-4.3
[2]Bluman G W, Cheviakov A F, Anco S C - Applications of Symmetry Methods to Partial Differential Equations, Springer, New York 2009
především kapitola 1
[3]Olver P J - Applications of Lie Groups to Differential Equations, 2nd Ed, Springer, New York 1993
především kapitola 4 o zákonech zachování
[4]Stephani H - Differential Equations, Their Solutions using Symmetries, Cambridge University Press, Cambridge 1989
doplňková četba pro ty, kteří shledají texty [1, 2] a především [3] příliš matematické