Numerické metody ve fyzice II - TMF058 (LS 2023-24)

Aktuální informace:

(29.2.2024) Přednáška probíhá v pátek od 9:00 v posluchárně UTF. První přednášku o numerických aspektech Fourierovy transformace přednesl Karel Houfek. Od 1.3. pokračuji já. Odkaz na předchozí běhy: Karel Houfek 2021 a Martin Čížek 2020.

LEKCE 0 – záskok, Karel Houfek – Fourierova Transformace a její využití (poznámky)

• Formulace počáteční úlohy pro PDR, okrajové podmínky.
• Diskrétní Fourierova tranformace
• Aliasing a Nyquistova frequence
• Algoritmus rychlé Fourierovy transformace (FFT)
• Použítí FFT na vývoj vlnového klubka v QM

Demostrace:

1. Wolfram matematika – algoritmus FFT a pdf printout

2. Split-operator metoda v matematice a pdf printout

Zatím starý sylabus z roku 2022: (bude aktualizován)

LEKCE 1 - Diferenční metody (metoda sítí) pro počáteční úlohu. (viz [2],[3] a [6], tabulka metod)

• Formulace počáteční úlohy pro PDR, okrajové podmínky.
• Reprezentace řešení pomocí hodnot hledané funkce na síti. Reprezentace rovnice a okrajových podmínek.
• Základní diferenční schémata pro modelové problémy (rovnice vedení tepla, Schrodingerova a vlnová rovnice, advekce).
• Obecná formulace jednokrokové a vícekrokové formule.
• Řád přesnosti a konvergence metody.
• Spektrální analýza stability schématu, CFL podmínka stability.
• Numerická disperze a disipace (nestihl jsem, nezkouším).

Demonstrace:

1. Nestabilita integrace rovnice vedení tepla ............................ DemoL01.01_Difusion.py
2. Divergující vlastní módy jednokrokového operátoru ............DemoL01.02_Eigmode.py
3. Stabilní propagace implicitní Eulerovou metodou..................DemoL01.03_Dif_IE.py
4. Norma mocniny matice (ke stabilitě multikrok formulí).........DemoL02.01_matmul.py
5. Ke stabilite metody "Leap-Frog"........................................ DemoL02.02_LFgroth.py
6. Schrodinger 1D, pohyb volného balíku metodou CN.......... DemoL03.01_Schrodinger1D_0.py
7. Schrodinger 1D, odraz od bariery...................................... DemoL03.02_Schrodinger1D_V.py
8. Schrodinger 1D, komplexní absorb. okraj. podmínka......... DemoL03.03_Schrodinger1D_absorb.py

LEKCE 2 - Diferenční a relaxační metody pro okrajové úlohy. (viz [5, 6] a [2], úvodní část poznámek)

• Formulace okrajové úlohy pro PDR, okrajové podmínky. Souvislost okrajových a počátečních úloh.
• Formulace okrajové úlohy na síti. Popis okrajových podmínek.
• Obecná formulace řešení metodou střelby.
• Obecná formulace relaxační metody.
• Metody Jakobiho, Gaussova-Sidelova, SOR. Rychlost konvergence.
• Podstata multigridové metody.

Demonstrace:

1. 2D kondenzátor Jakobiho metodou  .....................................................................DemoL04.01_Jacobi.py
2. Totéž, ale srovnání rychlosti konvergence různých relax. metod  ............................DemoL04.02_compare.py
3. Totéž, ale rychl. konverg. při zjemnění sítě, pro analyt. řešitelnou okraj. podm........DemoL04.03_convergN.py
4. Totéž, ale pro správnou fyzikální okraj. podmínku.................................................DemoL04.04_Kondenzator.py

LEKCE 3 - Základní principy metody konečných prvků (FEM). (viz [8], odkaz na FreeFEM++)

• Formulace okrajové úlohy pro PDR pomocí variačního principu a slabá formulace.
• Příklady slabé a variační formulace různých typů úloh.
• Použití báze, Ritzova variační a Galerkinova metoda.
• Podstata metody konečných prvků. Příklady bázových funkcí v 1D.
• Zobecnění na vícedimenzionální úlohy.

Demonstrace:

Místo demonstrací jsme si prohlíželi manuál a řešené úlohy v programovém balíku FreeFEM++.

LEKCE 4 - Gradientní a Krylovovské metody řešení soustav lineárních rovnic. (viz [2, 4] a [5])

• Formulace soustavy rovnic pro symetrickou positivně definitní matici pomocí optimalizační úlohy.
• Metoda největšího spádu a její výhodnost pro řídké matice a její nevýhody.
• Podstata metody sdružených gradientů (CG). Rychlost konvergence.
• Princip předpodmínění (preconditioning) úlohy.
• Přehled dalších metod založených na Krylovově prostoru.

Demonstrace:

1. Porovnání met. největšího spádu a CG pro náhod. matici 5x5...................DemoL05.01_SDxCG.py
2. Porovnání konvergence CG pro různé typy matic ....................................DemoL05.02_CG_tst.py
3. Vliv preconditioningu na konvergenci CG (příklad z [4])...........................DemoL05.03_CG_prekond.py
4. Rychlost konverg. CG pro náhod. matici s daným spektrem......................DemoL05.04_CG_cluster.py

LEKCE 5 - Metoda Monte-Carlo. (viz [6], úvodní část poznámek)

• Základní pojmy matematické statistiky. Náhodná proměnná a její momenty.
• Střední hodnoty náhodné proměnné a její funkce, výpočet z definice a pomocí statistického souboru.
• Příklady náhodných proměnných. Součet náhodných proměnných.
• Centrální limitní věta a její použití k formulaci úloh.
• Integrace funkce metodou Monte-Carlo. Rychlost konvergence. Srovnání s jinými metodami.
• Generování náhodné proměnné s předem danou rozdělovací funkcí, Metropolisův algoritmus.
• Statistická závislost náhodných proměnných, korelační koeficient a autokorelační funkce.
• Variační a difůzní kvantové Monte-Carlo, podstata metod.

Demonstrace:

1. MC výpočet čísla pi a rychlost konvergence ......................................DemoL06.01_MCpi.py
2. Distribuční funkce pro součet náhodných proměnných.........................DemoL06.02_x+y.py

LEKCE 5 – Fourierovské a spektrální metody – letmý úvod

• Fourierova transformace – opakování: inverze, konvoluce a derivace, vlastnosti transformace hladkých funkcí
• Semidiskrétní Fourierova transformace. Nyquistova frekvence a aliasing, inverzní transformace. Aliasing theorem (Poissonova formule). Použití pro interpolaci.
• Diskrétní Fourierova transformace. Definice, inverze. Podstata algoritmu rychlé Fourierovy transormace.
• Metoda rozděleného propagátoru pro Schrodingerovu rovnici.
• Podstata spektrálních metod. Spektrální konvergence.
• Podstata kolokační metody.
• Fourierovská, Čebyševova báze. Použití FFT.
• Příklady použití

DOPORUČENÁ LITERATURA:

Opírám se především o [3], [5] a [6]. Jako vhodný doplněk pro praktickou implementaci algoritmů lze vždy doporučit [2]. Ostatní uvedené knihy jsou vhodným doplňkem k různým tématům, viz zelené poznámky.

• [1] Poznámky přednášce. Moje verze v LaTeXu je zatím neúplná  a plná chyb, do sylabu výše jsem dal odkazy na některé zlomky.
• [2] Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery: Numerical Recipes in Fortran (or in C), k dipozici online. Starší verze zdarma. Tištěná verze by měla být v knihovně. - základní odkaz pro většinu témat k přednášce.
• [3] L. N. Trefethen: Finite difference and spectral methods for ODE and PDE. Nedopsaná kniha přístupná online. Pěkný pedagogický výklad LIMUFO, a diferenčních metod pro PDE.
• [4] L.N. Trefethen, D. Bau III: Numerical Linear Algebra. SIAM 1997. V tomto semestru především Krylovovské metody.
• [5] J.W. Demmel: Applied Numerical Linear Algebra. SIAM 1997. Maticové iterační metody včetně multigridu a konjugovaných gradientů.
• [6] Koonin: Computational Physics. Řešené příklady s fyzikální tématikou. Základní odkaz na Monte-Carlo metody je kapitola 8.
• [7] Vitásek: Numerické metody. Příručka pro inženýry, obsahuje například úvod do FEM.
• [8] C. Johnson: Numerical solution of PDE by the FEM, Cambridge 1987. Úvod do FEM.

Poznámka k Pythonu: Výše uvedené příklady v Pythonu používají knihovny numpy a matplotlib. Python lze stáhnout zdarma. Jedna z možností je:

1 jít na https://www.continuum.io/downloads stáhnout anacondu dle vlastniho výběru
2 nainstalovat 3 spustit Anaconda Launcher
4 spustit Spyder - IDE (obsahuje i interaktivní konzoli) nebo spustit Ipython-qtconsole - interaktivni python .

---

Loňské stránky Karla Houfka jsou zde.

---

Numerické knihovny pro fyziku (přehled užitečných, osvědčených balíků nad Num.Rec.)

Některé z níže zmíněných knihoven jak ve FORTRANU tak v c, a mnohé další, pro řadu speciálních problémů, lze najít na www.netlib.org.

1) CPC - Library, (hlavně FORTRAN)

Knihovna programů časopisu "Computer Physics Communications", kde lze nalézt články popisující metody. Obsahuje řešení pro mnoho úloh s nimiž se setkáte ve fyzice, včetně pokročilých metod, npř. různé speciální funkce, řešení Hartree-Fockových rovnic, ...Dostupné v doméně fakulty.

2) GSL (Gnu scientific library) (orientovano na C, ale je zde i překladač a knihovny pro F90)

Široké spektrum matematických procedur různého zaměření, vše volně k dispozici.

3) BLAS, EISPACK, LINPACK, LAPACK (Primárně FORTRAN 77, FORTRAN 90, existuje C++ verze)

BLAS je základní balík pro manipulaci s vektory a maticemi (jeho náhrada, která se umí maximálně efektinvě přizpůsobit hardware (optimální využití cache paměti procesoru pro násobení matic atd.) se jmenuje ATLAS). Na něj staví EISPACK pro diagonalizaci matic a LINPACK pro lineární algebru. Jejich sloučením vznikl LAPACK, který obsahuje velké množství procedur pro numerickou lineární algebru.

4) Intel Fortran (C) MKL - library

Matematické knihovny dodávané k intelovským překladačům FORTRANU a C. Obsahují mimo jiné LAPACK a SPARSE SOLVER pro inverzi obecných řídkých matic.

5) NAG library

Komerční profesionální balík matematických knihoven.

6) Super LU - Berkeley

LU dekompozice pro obecné řídké matice.

7) Quadpack

Adaptibilní kvadratury .