Přednáška NTMF064 - Symetrie rovnic matematické fyziky a zákony zachování

Materiály ke stažení

Zde jsou ke stažení naskenované poznámky a občas i shrnutí v TeXu s řešenými příklady. Dále uvádím i odpovídající notebooky v Mathematice, k jejichž souštění je ovšem nejprve spustit knihovnu TMF064.Package.m.

Základní poznámky a notebooky

Zde si můžete stáhnout všechny naskenované poznámky v jediném souboru: 55 MB pdf

Doplňující poznámky a některé vyřešené úlohy

• Nalezení ODR invariantní vůči zadané bodové symetrii (pdf)
• Snížení řádu, případně vyřešení obyčejné diferenciální rovnice pomocí její bodové symetrie (pdf)
• Charakteristický tvar bodové symetrie (pdf)
• Naskenované doplňující poznámky o zobecněných symetriích a odvozená zákonů zachování pomocí multiplikátorů (pdf)

Programy v Mathematice podrobněji

Základní balík funkcí

• TMF064.Package.m obsahuje funkce, které jsou volány z jednotlivých následujících notebooků. Před použítím těchto notebooků je nutné knihovnu otevřít a spustit pomocí Run Package, aby byly funkce dostupné v dalších výpočtech.
• Zatím knihovna obsahuje tyto funkce:
  • ChangeOfVariables[pdes, substitutions, oldIndVar, oldDepVar, newIndVar, newDepVar]
    vrací zadaný systém parciálních diferenciálních rovnic v nových proměnných.
  • CheckPointSymmetryOfDE[pdes, substitutions, IndepVar, DepVar, xis, etas]
    ověřuje, zda bodová transformace zadaná pomocí infinitezimál xis a etas je bodovou symetrií zadaného systému parciálních diferenciálních rovnic. Vrací nulu(y), pokud jde o bodovou symetrii, nebo výrazy, které musí být nula, aby šlo o symetrii.
  • GetConditionsForPointSymmetries[zeroes, colvars]
    vrací podmínky, které musí splňovat infinitezimály bodové transformace, plynoucí z infinitezimálního kritéria. Ve skutečnosti vrací koeficienty polynomu v zadaných proměnných, které by měly být nulové.
  • GetAnsatzPolynomial[variables, orders, coef, n]
    je pomocná funkce, která zkonstruuje polynom v zadaných proměnných, který může být různého řádu pro jednotlivé proměnné a zároveň je každý člen polynomu řádu nejvýše n, coef je jméno proměnné, která bude použita jako koeficienty polynomu.
  • ShowPointSymmetriesAndCommutationRelations[X, f, epsilon, IndepVar, DepVar, xis, etas, par, npar]
    vytiskne všechny nezávislé infinitezimální generátory a odpovídající globalní transformace pro zadané infinitesimály xis a etas a také vytiskne komutační tabulku těchto inf. generátorů.

Transformace systému diferenciálních rovnic při globální bodové transformaci

• Change.Of.Variables.nb s ukázkami použití funkce ChangeOfVariables

Ověření invariance systému diferenciálních rovnic vůči zadané bodové symetrii pomocí infinitezimálního kritéria

• Test.of.point.symmetries.nb obsahuje ukázku základního použití funkce CheckPointSymmetryOfDE k ověření invariance obyčejné diferenciální rovnice popisující klasický lineární harmonický oscilátor vůči translaci v čase a škálování v prostoru. Použijte tento notebook pro experimentování.

Určení infinitezimálních generátorů bodových symetrií systému diferenciálních rovnic

Hledání bodových symetrií není automatické, ale je zapotřebí interaktivně nalézt správný tvar příslušných infinitezimálních generátorů. Po každém běhu je zapotřebí z obdrženého systému lineárních PDR určit nový předpokládaný tvar (ansatz) pro hledané infinitezimály a dalším zavoláním funkce CheckPointSymmetryOfDE obdržet nový přeurčený systém diferenciálních, nebo později algebraických rovnic pro nové neznámé funkce či konstanty. Pokud se podaří obdržet infinitezimální generátory závisející na několika konstantách, je poté možné spočítat konečné jednoparametrické podgrupy odpovídající jednotlivým generátorům a případně tabulku komutátorů pomocí ShowPointSymmetriesAndCommutationRelations.

• Point.symmetries-Free.particle.in.1D.nb - bodové symetrie pohybové rovnice klasické volné částice na přímce.
• Point.symmetries-Heat.equation.in.1D.nb - bodové symetrie rovnice vedení tepla na přímce. (Budete-li chtít počítat bodové symetrie pro jinou diferenciální rovnici, doporučuji vzít tento notebook jako předlohu.)
• Point.symmetries-Classical.central.problem.in.3D.nb - bodové symetrie pohybových rovnic klasického centrálního problému.

Hledání diferenciální rovnice invariantní vůči zadaným bodovým symetriím

Opět není hledání automatické, ale princip je stejný jako u hledání bodových symetrií, jen tentokrát jsou infinitezimální generátory známé a zadáváme obecný předpis pro diferenciální rovnici, přičemž postupně interaktivně měníme předpokládaný tvar diferenciální rovnice tak, aby byly splněny infinitezimální podmínky invariance.

• Poincare.group.and.Klein-Gordon.equation.nb - určení nejobecnější lineární diferenciální rovnice druhého řádu invariantní vůči Poincarého grupě (výsledkem je Klein-Gordonova rovnice).

Požadavky ke zkoušce

K úspěšnému zdolání zkoušky je zapotřebí osvojit si čtyři následující témata:

1. jak najít infinitezimální generátory bodových (zobecněných) symetrií dané diferenciální rovnice (systému diferenciálních rovnic),
2. jak využít Lieových grup symetrie dané obyčejné, či parciální diferenciální rovnice (systému diferenciálních rovnic) k jejímu zjednodušení, případně k jejímu úplnému vyřešení (nalezení partikulárního řešení),
3. jak nalézt zákony zachování a integrály pohybu pomocí bodových symetrií Eulerových-Lagrangeových diferenciálních rovnic, které jsou zároveň symetriemi příslušného variačního funkcionálu,
4. jak určit obecný tvar lineárních (případně nelineárních) diferenciálních rovnic určitého řádu invariantních vůči zadané Lieově grupě bodových transformací.

• jednoparametrická a r-parametrická Lieova grupa bodových transformací,
• infinitezimální transformace a infinitezimální generátor bodových transformací,
• první Lieův teorém a konstrukce konečných transformací z infinitezimálních generátorů,
• Lieova algebra Lieovy grupy transformací a řešitelná Lieova algebra,
• rozšíření (prodloužení, prolongace) bodových transformací a jejich infinitezimálních generátorů na prostor rozšířený o derivace závislých proměnných,
• grupa symetrie diferenciální rovnice a infinitezimální kritérium invariance diferenciální rovnice vůči Lieově grupě transformací,
• kanonické souřadnice a jejich využití k redukci, případně k nalezení řešení obyčejných diferenciálních rovnic,
• zobecněné symetrie diferenciálních rovnic, kontaktní symetrie a symetrie vyšších řádů, charakteristický tvar infinitezimálního generátoru,
• diferenciální invarianty a jejich využití k redukci obyčejných diferenciálních rovnic,
• invariantní řešení parciální diferenciální rovnice a eliminace jedné nezávislé proměnné
• variační symetrie, infinitezimální kritérium variační symetrie,
• obecné zákony zachování a jejich charakteristika, teorém Noetherové pro bodové symetrie

Příklady u zkoušky

Nakonec jsem se rozhodl zveřejnit zadání a snad i správné řešení příkladů, které jsme zadával u zkoušek. Pokud naleznete v řešeních chybu, prosím, informujte mě. Děkuji.

• Zkouška 17.1.2008 - Lorentzova transformace a vlnová rovnice (pdf, ps)
• Zkouška 31.1.2008 - Jednorozměrná Schrödingerova rovnice (pdf, ps)

Zde jsou na procvičení zadání jednodušších příkladů (zatím) bez řešení.
y_k značí k-tou derivaci funkce y(x) podle x.

Lieovy grupy transformací a jejich generátory
1. Ukažte, že projektivní transformace x' = (αx + β)/(γx + δ) tvoří Lieovu grupu bodových transformací. O kolikaparametrickou grupu jde? Určete generátory této grupy a jejich komutátory.
2. Určete jednoparametrickou Lieovu grupu transformací prostoru R², jejíž generátor je X = x²∂_x + 2xy∂_y a nalezněte obecný tvar nadplochy F(x,y) = 0, která je invariantní při této transformaci.


Zjednodušování a úplná integrace ODR
3. Ověřte, že diferenciální rovnice y₂ - (y₁)² + y = 0 je invariantní vůči translaci nezávislé proměnné, a pomocí metody diferenciálních invariantů snižte řád této nelineární rovnice.


Určení bodových symetrií ODR a obecného tvaru ODR invariantní vůči dané grupě symetrií
4. Určete dvouparametrickou grupu symetrií Blasiovy rovnice y₃ + 1/2 yy₂ = 0. (Viz [1], str. 135-136.)
   Využijte věty: Má-li ODR alespoň třetího řádu tvar y_n = g(x,y)y_n-1 + h(x,y,y₁,...,y_n-2) a je-li X = ξ(x,y)∂_x + η(x,y)∂_y generátorem její symetrie, pak ∂ξ/∂y = 0 a ∂²η/∂y² = 0.
5. Dokažte pomocnou větu z předcházejícího příkladu.


Nalezení partikulárního řešení PDR pomocí symetrie

6. Ověřte, že vlnová rovnice u_xx = u_tt je invariantní vůči škálování x' = αx, t' = αt, u' = u, a určete partikulární řešení invariantní vůči této transformaci.

Doporučená literatura ke zkoušce

Níže uvedená literatura k přednášce je k dispozici ke stažení v "tajném" podadresáři, jehož jméno se dozvíte na přednášce či na požádání (nejlépe zasláním e-mailu na výše uvedenou adresu).