Přednáška NTMF064 - Symetrie rovnic matematické fyziky a zákony zachování

Materiály ke stažení

Zde jsou ke stažení poznámky (alespoň shrnutí a řešené příklady) a programy, které nejsou zcela dotažené, ale měly by být funkční.

Poznámky a vyřešené úlohy
Programy v Mathematice

Základní balík funkcí

Transformace systému diferenciálních rovnic při globální bodové transformaci

Ověření invariance systému diferenciálních rovnic vůči zadané bodové symetrii pomocí infinitezimálního kritéria

Určení infinitezimálních generátorů bodových symetrií systému diferenciálních rovnic

Hledání bodových symetrií není automatické, ale je zapotřebí interaktivně nalézt správný tvar příslušných infinitezimálních generátorů. Po každém běhu je zapotřebí z obdrženého systému lineárních PDR určit nový předpokládaný tvar (ansatz) pro hledané infinitezimály a dalším zavoláním funkce CheckPointSymmetryOfDE obdržet nový přeurčený systém diferenciálních, nebo později algebraických rovnic pro nové neznámé funkce či konstanty. Pokud se podaří obdržet infinitezimální generátory závisející na několika konstantách, je poté možné spočítat konečné jednoparametrické podgrupy odpovídající jednotlivým generátorům a případně tabulku komutátorů pomocí ShowPointSymmetriesAndCommutationRelations.

Hledání diferenciální rovnice invariantní vůči zadaným bodovým symetriím

Opět není hledání automatické, ale princip je stejný jako u hledání bodových symetrií, jen tentokrát jsou infinitezimální generátory známé a zadáváme obecný předpis pro diferenciální rovnici, přičemž postupně interaktivně měníme předpokládaný tvar diferenciální rovnice tak, aby byly splněny infinitezimální podmínky invariance.

Poznámky k přednášce

Bohužel jsem zatím nenašel dostatek času vytvořit úplné poznámky k přednášce. Pokusím se sem do konce semestru dát alespoň některé ucelené části.

Požadavky ke zkoušce

K úspěšnému zdolání zkoušky je zapotřebí osvojit si čtyři následující témata:

  1. jak najít infinitezimální generátory bodových (zobecněných) symetrií dané diferenciální rovnice (systému diferenciálních rovnic),
  2. jak využít Lieových grup symetrie dané obyčejné, či parciální diferenciální rovnice (systému diferenciálních rovnic) k jejímu zjednodušení, případně k jejímu úplnému vyřešení (nalezení partikulárního řešení),
  3. jak nalézt zákony zachování a integrály pohybu pomocí bodových symetrií Eulerových-Lagrangeových diferenciálních rovnic, které jsou zároveň symetriemi příslušného variačního funkcionálu,
  4. jak určit obecný tvar lineárních (případně nelineárních) diferenciálních rovnic určitého řádu invariantních vůči zadané Lieově grupě bodových transformací.
Dále je třeba porozumět následujícím základním pojmům teorie Lieových grup transformací a jejich aplikace na diferenciální rovnice:

Příklady u zkoušky

Nakonec jsem se rozhodl zveřejnit zadání a snad i správné řešení příkladů, které jsme zadával u zkoušek. Pokud naleznete v řešeních chybu, prosím, informujte mě. Děkuji.

Zde jsou na procvičení zadání jednodušších příkladů (zatím) bez řešení.
yk značí k-tou derivaci funkce y(x) podle x.

    Lieovy grupy transformací a jejich generátory
  1. Ukažte, že projektivní transformace x' = (αx + β)/(γx + δ) tvoří Lieovu grupu bodových transformací. O kolikaparametrickou grupu jde? Určete generátory této grupy a jejich komutátory.
  2. Určete jednoparametrickou Lieovu grupu transformací prostoru R2, jejíž generátor je X = x2x + 2xy∂y a nalezněte obecný tvar nadplochy F(x,y) = 0, která je invariantní při této transformaci.


  3. Zjednodušování a úplná integrace ODR
  4. Ověřte, že diferenciální rovnice y2 - (y1)2 + y = 0 je invariantní vůči translaci nezávislé proměnné, a pomocí metody diferenciálních invariantů snižte řád této nelineární rovnice.


  5. Určení bodových symetrií ODR a obecného tvaru ODR invariantní vůči dané grupě symetrií
  6. Určete dvouparametrickou grupu symetrií Blasiovy rovnice y3 + 1/2 yy2 = 0. (Viz [1], str. 135-136.)
    Využijte věty: Má-li ODR alespoň třetího řádu tvar yn = g(x,y)yn-1 + h(x,y,y1,...,yn-2) a je-li X = ξ(x,y)∂x + η(x,y)∂y generátorem její symetrie, pak ∂ξ/∂y = 0 a 2η/∂y2 = 0.
  7. Dokažte pomocnou větu z předcházejícího příkladu.


  8. Nalezení partikulárního řešení PDR pomocí symetrie
  9. Ověřte, že vlnová rovnice uxx = utt je invariantní vůči škálování x' = αx, t' = αt, u' = u, a určete partikulární řešení invariantní vůči této transformaci.

Doporučená literatura ke zkoušce

Níže uvedená literatura k přednášce je k dispozici ke stažení v "tajném" podadresáři, jehož jméno se dozvíte na přednášce či na požádání (nejlépe zasláním e-mailu na výše uvedenou adresu).

[1]Bluman G W, Anco S C - Symmetry and Integration Methods for Differential Equations, Springer, New York 2002
především kapitoly 2, 3.1-3.5, 4.1-4.3
[2]Bluman G W, Cheviakov A F, Anco S C - Applications of Symmetry Methods to Partial Differential Equations, Springer, New York 2009
především kapitola 1
[3]Olver P J - Applications of Lie Groups to Differential Equations, 2nd Ed, Springer, New York 1993
především kapitola 4 o zákonech zachování
[4]Stephani H - Differential Equations, Their Solutions using Symmetries, Cambridge University Press, Cambridge 1989
doplňková četba pro ty, kteří shledají texty [1, 2] a především [3] příliš matematické