Řešení kvantově-mechanické úlohy srážek nerelativistických částic se redukuje na řešení Lippman-Schwingerovy rovnice. To je integrální rovnice Fredholmova typu druhého druhu nejméně ve dvou dimensích. Tyto rovnice mají singulární jádra. Obvyklý postup spočívá v rozkladu na parciální vlny, čímž se dimense integrálních rovnic sníží o jedničku. Cílem práce bude studovat numerické metody řešení L-S rovnice ve dvou dimensích bez použití tohoto rozkladu. Aplikace na problémy z atomové fyziky a fyziky několika částic.
Ch. Elster, J. H. Thomas and W. Gloeckle: Few-Body Systems 24(1998)55
V posledních letech stoupá zájem o principy molekulární elektroniky, tj. o studium elektronických součástek jejichž aktivním elementem je jediná molekula. Nedávné pokroky experimentálních technik umožnily konstrukci takových zařízení. Teoretický popis těchto zařízení zaznamenal bouřlivý rozvoj v posledním desetiletí. Zůstává však mnoho nezodpovězených otázek. Některé z nich se týkají interakce elektronu procházejícího molekulou s jejími vibračními stupni volnosti.
V naší skupině jsme otestovali metody vyvinuté původně pro popis vibrační excitace molekuly při srážce s elektronem ve vakuu na problémy molekulární elektroniky. Konkrétně by šlo o prostudování formalismu nerovnovážných Greenových funkcí a napsání programu pro implementaci selfkonsistentní Bornovy arpoximace v rámci tohoto přístupu. Posluchač získá základní znalosti o problému, který se v současné době intenzívně studuje na mnoha světových pracovištích.
Jednou z nejzajímavějších předpovědí Einsteinovy obecné teorie relativity je existence černých děr. Černá díra představuje objekt s tak silným gravitačním polem, že prostoročas kolem ní mění svojí kauzální strukturu. Geometrie prostoročasu kolem černé díry je vysoce zakřivená a jen obtížně představitelná. Cílem diplomové práce by bylo nalézt postupy, jak tuto geometrii graficky znázornit -- ať již pomocí schématických (dvou i třídimenzionálních) konformních diagramů či animací průletu kolem a skrze černou díru. Vedle zkoumání nejzákladnějších černých děr (Schwarzschildovo a Reissnerovo-Nordstr\"omovo řešení) se práce zaměří hlavně na urychlené černé díry v asymptoticky \mbox{(anti-)de~Sitterově} prostoročasech (tzv. C-metrika s nenulovou kosmologickou konstantou). Práce by měla těžiště hlavně v počítačové vizualizaci a proto je potřeba jistá zručnost s počítači.
During the past decade, there has been a significant increase in interest in the properties of gravity in more than 4 spacetime dimensions. This largely stems from the recognition of the relevance of black holes to fundamental theories such as string theory, along with the idea of large or infinite extra dimensions recently resurrected by braneworld models of TeV gravity. According to the latter, for example, microscopic higher-dimensional black holes might be produced at near-future colliders (such as LHC at CERN) as well as in cosmic ray experiments. Several higher-dimensional solutions of classical General Relativity have been known for some time. However, recent investigations have shown that, even at the classical level, gravity in higher dimensions exhibits much richer dynamics than in four dimensions. In particular, in five dimensions there exist not only rotating black holes, but also rotating `black rings' with the same mass and angular momentum of the holes (such non-uniqueness, which is forbidden in four dimensions by general theorems, has been very recently partially understood within string theory). Therefore, in spite of remarkable advances in the past few years, various features of gravity in higher dimensions have still to be explored. These will be the topic of suggested diploma work.
Nahromadíme-li dostatečné množství hmoty, dojde podle obecné teorie relativity k jeho zhroucení v černou díru. Zvolíme-li za hmotu například skalární pole a studejeme-li tento jev za předpokladu sférické symetrie, je výsledný prostoročas dán Schwarzschildovým řešením Einsteinových rovnic - původní skalární pole zmizí buď v nekonečnu nebo v černé díře. Nebylo-li na počátku pole dostatečně koncentrované, všechno se rozplyne do nekonečna a výsledná metrika bude odpovídat Minkowského prostoročasu. Problém popisuje nelineární hyperbolická soustava parciálních diferenciálních rovnic a její analytické řešení není známo. Proto Matthew Choptuik studoval tento problém několik let za pomoci počítače. Před deseti lety pak vzbudil pozornost jeho nečekaný objev: Závislost hmotnosti výledné černé díry na počáteční konfiguraci pole vykazuje chování známé z termodynamiky jako "kritické". Navíc i protoročas odpovídající hraničnímu případu mezi rozplynutím skalárního pole a vytvořením černé díry je velmi zvláštní.
Během posledních deseti let byl tento jev studován z mnoha hledisek, zároveň se ale vyvíjel obor numerické relativity, který se obecně zabývá řešením Einsteinových rovnic za pomocí počítače. Cílem diplomové práce by bylo, kromě podání přehledu Choptuikova jevu, také formulovat vývojové rovnice problému ve veličinách, jaké používají různé 3+1 formulace Einsteinových rovnic. Zvláště pro situaci blízko Choptikova kritického prostoročasu, by pak bylo zajímavé studovat jejich chování při numerických simulacích.