Základní informace: |
v roce 2024/2025 přednáší Karel Houfek přednáška a cvičení se koná každý pátek od 10:40 v posluchárně ÚTF |
Poznámky a notebooky v Mathematice, které používám při přednáškách a cvičeních:
Podmínkou udělení zápočtu je vypracování zápočtové úlohy. Jak už jsem zmiňoval na přednášce, letošní úlohou je simulace dvouštěrbinového experimentu v kvantové mechanice,
tedy řešení časově závislé dvourozměrné Schrödingerovy rovnice s počáteční podmínkou danou lokalizovaným Gaussovským balíkem, kterému udělíte počáteční hybnost např. ve směru osy x.
V určité vhodné vzdálenosti od centra balíku ve směru pohybu umístěte bariéru kolmou na osu x (buď dostatečně vysokou, nebo na její hranici vynuťte nulovou okrajovou podmínku) se dvěma štěrbinami
symetricky rozmístěnými od osy x. Pokud se podaří nasimulovat průchod vlnové funkce bariérou, je pak třeba pomocí integrace toku pravděpodobnosti v čase v určitém místě vyšetřit průběh
pravděpodobnosti dopadu částice na detektor, který je umístěný kolmo osu x v určité vzdálenosti za bariérou, viz obrázek s možným počátečním nastavením.
Pro simulaci použijete jednu z metod, které jsme na přednáškách probírali, případně jejich vhodnou modifikaci.
Pokud jde o okrajové podmínky, je třeba si uvědomit, že nulová okrajová podmínka na hranici zvolené oblasti vede k odrazu vlnového balíku
a je nutné se s tímto problémem nějak vypořádat. Buď musíte zvolit dostatečně velkou oblast, aby se vlnový balík nestihl odrazit, nebo můžete na hranici použít
komplexní absorbční potenciál typu VCAP = -i * c * (x - xCAP), který je nenulový pro x větší než vhodně zvolené xCAP a kde c je třeba nastavit tak,
aby došlo k dostatečnému ultumení vlnového balíku před dosažením okraje zvolené oblasti.
Při řešení pomocí metody konečných prvků můžete použít FreeFEM, případně jiný dostupný nástroj.
Také se male ůžeme domluvit, že místo zadané zápočtové úlohy vyřešíte nějaký problém související s Vaší diplomovou prací, ve které využijete některou z metod probíraných na přednášce. V tomto případě se domluvíme individuálně.
Níže uvedená témata je potřeba znát v rozsahu přednášky, pokud např. nebyl na přednášce uveden důkaz některého tvrzení, pak nebude požadován ani u zkoušky. U jednotlivých hlavních témat je uvedena literatura, ze které jsem při přípravě přednášky především čerpal. Odkazy jsou na seznam doporučené literatury níže.
Níže uvedená literatura k přednášce je k dispozici ke stažení v "tajném" podadresáři, jehož jméno se dozvíte na přednášce či na požádání (nejlépe zasláním e-mailu přednášejícímu).
[1] |
Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. -
Numerical Recipes Third Edition - The Art of Scientific Computing, Third Edition, Cambridge University Press, Cambridge 2007, starší vydání dostupné online, především kapitoly 7 (metoda Monte-Carlo), 17(okrajové úlohy v 1D) a 19 (přehled metod pro PDR) |
[2] |
Trefethen L. N. -
Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, 1996, dostupné online, především kapitoly 3 (diferenční metody) a 4 (stabilita a konvergence) |
[3] |
Demmel J. W. -
Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia 2007, především kapitola 6 (iterační metody) |
[4] |
Johnson C. -
Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method, Cambridge , New York 1987, především kapitoly 1-3 (metoda konečných prvků) |
[5] | Trefethen L. N. - Spectral Methods in Matlab, SIAM, Philadelphia 2000, dostupné online |
[6] |
LeVeque R. J. -
Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, SIAM, Philadelphia 2007, především kapitoly 1, 3 (eliptické PDR), 4 (iterační metody), 9 (parabolické PDR) a 10 (hyperbolické PDR) |
[7] |
Vitásek E. -
Numerické metody, SNTL, Praha 1987, především kapitoly I.2.2-I.2.3 (iterační metody), VI (eliptické PDR), VII (parabolické PDR) a VIII (hyperbolické PDR) |
[8] |
Isaacson E., Keller H. B. -
Analysis of Numerical Methods, Dover, New York 1994, především kapitoly 2.4 (iterační metody), 9 (analýza metod pro PDR) |
Některé z níže zmíněných knihoven (jak ve FORTRANU, tak v jazyku C) a mnohé další pro řadu speciálních problémů lze najít na www.netlib.org.
1) CPC - Library, (hlavně FORTRAN)
Knihovna programů časopisu " Computer Physics Communications ", kde lze nalézt články popisující metody. Obsahuje řešení pro mnoho úloh s nimiž se setkáte ve fyzice, včetně pokročilých metod, npř. různé speciální funkce, řešení Hartree-Fockových rovnic, ...Dostupné v doméně fakulty.
2) GSL (Gnu scientific library) (orientovano na C, ale je zde i překladač a knihovny pro F90)
Široké spektrum matematických procedur různého zaměření, vše volně k dispozici.
3) BLAS, EISPACK, LINPACK, LAPACK (Primárně FORTRAN 77, FORTRAN 90, existuje C++ verze)
BLAS je základní balík pro manipulaci s vektory a maticemi (jeho náhrada, která se umí maximálně efektinvě přizpůsobit hardware (optimální využití cache paměti procesoru pro násobení matic atd.) se jmenuje ATLAS). Na něj staví EISPACK pro diagonalizaci matic a LINPACK pro lineární algebru. Jejich sloučením vznikl LAPACK, který obsahuje velké množství procedur pro numerickou lineární algebru.
4) Intel Fortran (C) MKL - library
Matematické knihovny dodávané k intelovským překladačům FORTRANU a C. Obsahují mimo jiné LAPACK a SPARSE SOLVER pro inverzi obecných řídkých matic.
5) NAG library
Komerční profesionální balík matematických knihoven.
LU dekompozice pro obecné řídké matice.
7) Quadpack
Adaptibilní kvadratury .