Klasická elektrodynamika

materiály k přednášce

NOFY126

prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D.

LS: 2/2 Z Zk - jaro 2023

Anotace:

Maxwellovy rovnice. Statické a stacionární přiblížení. Časově proměnné pole, elektromagnetické záření. Relativistická formulace. Zákony zachování. Matematické metody řešení.

Přednáška navazující na NOFY018. Přednáška je určena pro druhý ročník bakalářského studia fyziky.

Přednáška v současné akreditaci plně nahrazuje dřívější předmět NOFY026. Pod tímto kódem můžete nalézt informace z minulých let včetně ankety.

Konání kurzu:

Přednáška

Přednáška se konala ve středu od 14:50 do 16:20 hodin v posluchárně T1 v Tróji.

Přednášky probíhaly prezenčně formou standardního výkladu na tabuli. Přednášky byly nahrávany a záznamy jsou k dispozici na této stránce. Tyto materiály jsou určeny pro zapsané studenty.

Cvičení

Cvičení byla rozvržena následovně:

Cvičení probíhala prezenčně.

Konzultace

Jako podpora pro studenty byly rozvrženy standardní časy konzultací:

Na konzultacích se opakovala látka, jejíž znalost se předpokládala z jiných přednášek, a procvičoval probíraný materiál podle dotazů a zájmu studentů.

Podmínky pro zápočet a zkoušku:

Zápočet

Zápočet ze cvičení je nutnou podmínkou pro přistoupení ke zkoušce. Podmínkou pro udělení započtu je zisk alespoň 50 bodů.

Během semestru bude možné získat celkem cca 100 bodů určujících nárok na zápočet. Proběhnou dvě písemky (2x33 bodů + bonusy) a budou zadány dva domácí problémy (2x17 bodů + bonusy).

Body bude možno získat i v průběhu zkouškového období za řešení doplňkové/opravné písemky. Jako doplňkovou/opravnou písemku lze použít kteroukoli písemku zadávanou jako součást zkoušky. K započítání bodů za doplňkovou/opravnou písemku je potřeba získat alespoň 8 bodů z maxima 33 bodů.

Studentům opakujícím předmět se započte 70% zápočtových bodů z předchozího absolvování předmětu.

Povaha kontroly splnění podmínek pro udělení zápočtu vylučuje opakování této kontroly, tedy zápočet lze získat pouze podle pravidel popsaných výše.

Zkouška

Zkouška sestává z písemné a ústní části. Písemná část předchází části ústní a její nesplnění (méně než 8 bodů z maxima 33 bodů) znamená, že celá zkouška je hodnocena známkou nevyhověl(a) a ústní částí se již nepokračuje.

Po úspěšném složení písemné části následuje část ústní. Nesložení ústní části znamená, že při příštím termínu je nutno opakovat obě části zkoušky, písemnou i ústní (vyjma případu, že student splňuje podmínku pro odpuštění písemky – viz dále). Známka ze zkoušky se stanoví na základě hodnocení písemné i ústní části.

Písemná část zkoušky je odpuštěna, pokud student dosáhne 85 bodů.

Různé

Získané body lze nalézt po zalogování v SISu v modulu Studijní mezivýsledky.

Požadavky u zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl prezentován na přednášce.

Zkoušky:

Podoba zkoušky

Standardní průběh zkoušky zahrnuje písemnou část a navazující ústní část.

Písemná část má stejnou podobu jako zápočtová písemka. Zadání obsahuje 3 příklady, časová dotace bude 90 minut a bude možné získat 33 bodů.

K pokračování v ústní části je potřeba na písemce získat alespoň 7 bodů. Výsledná známka zahrnuje hodnocení jak písemné, tak ústní části.

Při ústní části zkoušky budou zadány 2 otázky a student bude mít cca 30 minut na přípravu. V rámci zkušky bude probírány i problémy z písemky.

Studenti, kteří během semestru získali alespoň 85 bodů nemusejí absolvovat písemnou číst zkoušky. Tito studenti se mohou přihlásit na jakýkoli zkouškový termín. Budou zkoušeni v době konání písemky. Vedle toho jsou pro ně vypsány i speciální termíny bez písemky.

Materiály přípustné na zkoušce

Během zkoušky může student používat tištěné materiály, které lze stáhnout z webu přednášky: handouty ke křivočarým souřadnicím, speciálním funkcím, .... Nejsou povoleny učebnice, knihy, přípravy přednášejícího a vlastní poznámky. Není povoleno využití počítače, mobilu a online materiálů. Práce musí být samostatná, bez jakékoli pomoci další osoby.

Termíny zkoušek

Termíny s písemkou:

Termíny bez písemky:

Ústní zkoušení probíhá na ÚTF na 10. patře v Tróji.

Pokud máte nárok na termín bez písemky, můžete přijít i na termín s písemkou. V takovém případě přijďte již ráno v 9:00 a budete přímo vyzkoušeni.

Pokud potřebujete doplňkovou zápočtovou písemku, nemusíte se přihlašovat v SISu na termín, stačí přijít na písemku.

Prosím, vyberte si včasné zkouškové termíny. V době prázdnin a v září již nebudou vypsány žádné další termíny než ty vyznačené výše. Celková kapacita termínů je dostatečná pro vyzkoušení všech. Pokud ale bude většina zkouškový termín odkládat, nemusí poslední termíny kapacitně stačit.

Zápočtové problémy a testy:

Zápočtový test 1

První zápočtový test proběhl v době odpoledních cvičení v úterý 11. dubna a ve čtvrtek 13. dubna. Test obsahoval tři příklady z elektrostatiky.

Hodnocení řešení jsou zveřejněna v SISu, v modulu "Studijní mezivýsledky". Opravená řešení byla vrácena na přednášce.

Zápočtový test 2

Druhý zápočtový test proběhl v úterý 23. května.

vzorové řešení: [pdf]

Opravená řešení a hodnocení jsou k dispozici v SISu v modulu "Studijní mezivýsledky".

Zápočtový problém 1

zadání: [pdf]

vzorové řešení: [pdf]

Termín odevzdání úkolu byl 30. března.

Opravená řešení a hodnocení jsou k dispozici v SISu, v modulu "Studijní mezivýsledky".

Zápočtový problém 2

zadání: [pdf]

vzorové řešení: [pdf]

Termín odevzdání úkolu byl 18. května.

Opravená řešení a hodnocení jsou k dispozici v SISu, v modulu "Studijní mezivýsledky".

Řešení zápočtových problémů i zápočtových písemek jsou již opravena a na základě celkového hodnocení byly uděleny zápočty.

Opravená řešení zápočtových problémů i 2. písemky jsou k dispozici v SISu. V případě nejasností s opravenými úlohami, ozvěte se přednášejícímu.

Předpokládaná látka z jiných přednášek:

V rámci kurzu budeme využívat znalosti z některých předchozích nebo souběžných přednášek. Tyto požadavky se mohou objevit i jako součást zkoušené látky. Zejména se jedná o následující témata:

Proseminár MMF

Proseminář TF, Matematika pro fyziky

Elektřina a magnetismus

Optika

Speciální teorie relativity

Průbežně aktualizovaný sylabus:

Záznamy přednášek:

Průběh přednášek:

Přednášky jsou nahrávané. Záznam přednášek a jejich obsah je k dispozici níže. Mohou se zde objevit ještě různé doplňkové materiály jako obrázky, texty či extra záznamy. Pro stáhnutí přednášky může být potřeba vybrat v kontextovém menu (pravá myš) uložení odkazu.

Vedle standardně přednesených přednášek budou k dispozici ještě dvě pouze zaznamenané přednášky M1 a M2 představující matematický aparát potřebný na přednášce. Tyto přednášky připomínají látku, kterou by studenti měli znát z jiných kurzů. Zavádí se zde zejména formalismus křivočarých souřadnic. Doporučuji shlédnout tyto přednášky během prvních dvou týdnů semestru.

M1 M2 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14

přednáška M1

  • Matematický formalismus
    Opakování geometrie.
    Euklidovský prostor, body a vektory, skalární součin, kartézská soustava, ortonormální báze.
    Ortogonální souřadnice.
    Křivočaré souřadnice, vektory tečné k souřadnicovým čarám, ortogonální souřadnice, normalizovaná báze, Lamého koeficienty, vektor posunu podél souřadnicových čar. Integrování podél křivky, plochy a v objemu. Příklady: kartézské, cylindrické a sférické souřadnice. Elipsoidální souřadnice: obecná diskuze, oblé elipsoidální souřadnice, rovnice souřadnicových čar, Lamého koeficienty.

přednáška M2

  • Matematický formalismus
    Vektorové operátory.
    Gradient funkce, Newtonův vzorec, přírůstek funkce, složky gradientu v ortogonálních souřadnicích, gradient souřadnice. Divergence vektorového pole, Gaussova věta, zdroj pole, divergence v ortogonálních souřadnicích. Rotace vektorového pole, Stokesova věta, víry pole, rotace v ortogonálních souřadnicích. Vlastnosti ∇ operátoru. Funkce více argumentů.
    Operátory 2. řádu.
    Podmínky pro potenciály. Laplaceův operátor funkce, Greenova věta, Laplaceův operátor v ortogonálních souřadnicích. Laplaceův operátor vektorového pole, rozklad na kartézské složky.

přednáška 1 - 15. 2.

  • Úvod
    Technické záležitosti.
    Obsah přednášky, cvičení, podmínky pro udělení zápočtu, zkouška. Literatura.
    Formulace elektrodynamiky.
    Zdroje, veličiny popisující EM pole, Lorentzova síla, Maxwellovy rovnice, potenciály.
  • Elektrostatika
    Formulace elektrostatiky.
    Zdrojová a potenciálová rovnice, elektrostatická síla, siločáry a trubice toku, Gaussův zákon. Potenciál, integrální definice, nezávislost na cestě integrování, diferenciální vztah, jednoznačnost potenciálu, Poincarého lema. Poissonova rovnice, Laplaceova rovnice, harmonické funkce. Coulombův zákon, sféricky symetrické zdroje.
    Singulární zdroje.
    Regulární a singulární zdroje: plošné, lineární a bodovové rozložení náboje. Podmínky navázání pro plošný zdroj. Objemová hustota singulárních zdrojů.

přednáška 2 - 22. 2.

  • Matematický formalismus
    Základy teorie distribucí.
    Distribuce – zobecnění funkcí. δ-funkce v 1D, motivace, definice, derivace skokové funkce, derivace δ-funkce. Substituce v δ-funkci v 1D.
    Distribuce ve 3D
    δ-funkce v 3D, distribuční výpočet zdroje coulumbovského pole. δ-funkce lokalizovaná v bodě, na křivce a na ploše, vyjádření v souřadnicích. Distribuční odvození podmínek navázání v přítomnosti plošného náboje.

přednáška 3 - 1. 3.

  • Elektrostatika
    Formulace elektrostatiky.
    Coulombické řešení Poissonový úlohy, metoda fiktivních nábojů.
    Laplaceův operátor.
    Laplaceův operátor, prostor funkcí na oblasti, okrajové podmínky. Symetrie a positivita Lapalceova operátoru. Harmoniky, věta o střední hodnotě, věta o minimu a maximu, jednoznačnost Poissonovy úlohy, metoda obrazů.
    Greenovy funkce.
    Greenova funkce Laplaceova operátoru, řešení Poissonovy úlohy. Greenova funkce v celém prostoru. Dirichletova Greenova funkce na oblasti. Poissonova a Laplaceova úloha se zadaným potenciálem na hranici. Greenova reciprocita.

přednáška 4 - 8. 3.

  • Elektrostatika
    Vodiče.
    Ideální vodič, indukovaný náboj a pole, podmínky pro potenciál a intenzitu. Vkládání vodiče do pole. Síla na vodič, rozklad na vlastní a vnější pole. Pole u uzemněné vodivé sféry. Pole nabitého elipsoidu, nábojová hustota na elipsoidu, limita tenkého disku, nábojová hustota na disku.
    Kapacity.
    Systém nabitých vodičů, linearita vztahu potenciálů a nábojů, matice kapacity a její vlastnosti. Matice kapacity pomocí Greenovy funkce. Speciální situace: jeden vodič, obecný kondenzátor, dva vodiče. Vodiče v dutině, matice kapacity pro napětí, stínění, vztah k celkové matici kapacity.

přednáška 5 - 15. 3.

  • Elektrostatika – pokročilé metody
    Rozklad do systému funkcí.
    Báze v prostoru funkcí. Prostor řešení Laplaceovy úlohy, vlastní funkce operátoru, systémy vlastních funkcí, ortonormalita a úplnost, komplexní funkce. Příklad v 1D - Fourierova transformace na intervalu a reálné ose.
    Rozklad Greenovy funkce.
    Funkce operátoru, vyjádření v bázi vlastních funkcí, integrální jádro Laplaceova operátoru, Greenovy funkce a δ-funkce.
    Metoda separace proměnných.
    Separace proměnných, multiplikaticní separabilní ansatz, separační konstanty. Separace v kartézských souřadnicích. Laplaceova úloha v kvádru, nenulový potenciál na jedné stěně, výběr funkcí, koeficienty v rozvoji jako Fourierova transformace potenciálu na okraji. Separace ve sférických souřadnicích, separace radiální a úhlových souřadnic, radiální závislost, separace úhlových proměnných, zobecněná Legendreova rovnice, kulové funkce. Relace ortogonality a úplnosti kulových funkcí.

přednáška 6 - 22. 3.

  • Elektrostatika – pokročilé metody
    Multipólový rozvoj.
    Monopól. Dipól, potenciál, intenzita, nábojová hustota. Síla na dipól ve vnějším poli. Vzdálené pole nábojů, monopól, dipól, kvadrupól. Nábojové momenty, tenzorové multipóly, příklady. Rozvoj do Legendreových polynomů a sférických harmonik, sférické multipóly. Axiálně symetrická situace, rozvoj potenciálu podle osy.

přednáška 7 - 29. 3.

  • Magnetostatika
    Tok náboje.
    Hustota toku a proud, zákon zachování, konvekční proud. Stacionární situace. Singulární zdroje - plošní proudy a tenké vodiče. Rozložení proudů ve vodičích, ohmické vodiče, Ohmův zákon. Elektrické pole stacionárních proudů ve vodičích, potenciálová úloha.
    Formulace magnetostatiky.
    Rovnice magnetostatiky, Lorentzova síla. Magnetická indukce, indukční čáry, magnetický tok, Ampérův zákon, bezdivergentní charakter čar. Plošné zdroje. Vektorový potenciál, podmínka existence, nejednoznačnost potenciálu, kalibrační volnost, kalibrační podmínka. Poissonova úloha pro vektorový potenciál, řešení. Biotův-Savartův zákon, varianta pro tenké vodiče.

přednáška 8 - 5. 4.

  • Magnetostatika
    Systémy smyček.
    Pole smyček, skalární magnetický potenciál, Laplaceova úloha pro magnetický potencál, nejednoznačnost potenciálu. Ampérův zákon pro sílu, symetrie působení. Indukčnost, magnetický tok od smyčky, matice indukčnosti, samoindukčnost, aproximace tenkého vodiče.
    Multipólový rozvoj.
    Multipólový rozvoj vektorového potenciálu. Dipólový člen, pole dipólu, kanonická reprezentace dipólu. Síla a moment síly na magnetický dipól ve vnějším poli.
    Tok náboje.
    Zdroje proudů, elektromotorická síla. Ohmův zákon, odpor prostředí.

přednáška 9 - 13. 4.

  • Magnetostatika
    Kvazistacionární přiblížení.
    Elektromotorická síla, Faradayův zákon I - kvazistacionární přiblížení pro pomalu měnící se magnetická pole, Faradayův zákon II - pohyb smyčky v magnetickém poli. Lenzovo pravidlo. Relaxace náboje ve vodiči, rovnice difuze pro pole a proudy, skin efekt.
  • Zákony zachování
    Energie v elektrostatice.
    Elektrostatický potenciál a potenciální energie. Interakční energie nábojů. Energie elektrostatického systému, vyjádření pomocí potenciálu a intenzity, lokalizace energie, positivita energie. Energie nabité koule, divergentní charakter energie bodového náboje, vztah celkové a interakční energie. Energie systému vodičů.
    Energie v magnetostatice.
    Vztahy pro magnetostatickou energii pomocí magnetické indukce a pomocí potenciálu, lokalizace energie. Energie systému smyček, vyjádření pomocí matice indukčnosti.

přednáška 10 - 19. 4.

  • Relativistická formulace
    Relativistická formulace teorie.
    Prostorová a prostoročasová formulace – slovník, invarianty.
  • Časově proměnné pole
    Formulace elektrodynamiky.
    Plné Maxwellovy rovnice. Potenciály, rovnice pro potenciály, kalibrační volnost, kalibrační podmínky.
  • Zákony zachování
    Lokální zákony zachování.
    Lokální bilance veličiny, integrální vyjádření, diferenciální vyjádření, rovnice kontinuity, její prosotoročasová forma. Zákon zachování náboje.
    Energie, hybnost a jejich toky.
    Hustota elektromagnetické energie, tok elektromagnetické energie, Poyntingův vektor, bilance energie – Poyntingova věta. Hustota hybnosti elektromagnetického pole, tenzor toku hybnosti, tenzor napětí, bilance hybnosti. Prosotočasová formulace, tenzor energie-hybnosti, lokální zákon zachování 4-hybnosti.

přednáška 11 - 26. 4.

Dodatek k přednášce obsahuje odvození diskuzi pole rovnoměrně pohybujícího se náboje.

  • Relativistická formulace
    Transformační vlastnosti.
    Lorentzovat transformace, transformace toku, 4-potenciálu a příslušných prostorových veličin. Transformace elektrické intenzity a magnetické indukce. Speciální případy a jejich charakterizace pomocí invariantů. Transformační vlastnosti lineární nábojové hustoty a proudu.
    Příklady.
    Přímý vodič s proudem v pohybující se soustavě. Pole rovnoměrně pohybujícího se náboje.

přednáška 12 - 3. 5.

Dodatek k přednášce obsahuje odvození Greenovy funkce a v závěru poznámky ke kauzální Greenově funkci a radiačnímu poli zdroje.

11.5.: V záznamu byla opravena znaménková chyba v Jefimenkově vztahu pro elektrickou intenzitu.

  • Časově proměnné pole
    Elektrodynamika se zdroji.
    Metoda Greenovy funkce, vlastnosti Greenovy funkce vlnového operátoru. Retardovaná a advancovaná Greenova funkce, retardované šíření a kauzalita. Potenciál zadaných zdrojů. Jefimenkovy vztahy pro elektrickou intenzitu a magnetickou indukci.
    Pole bodového náboje.
    Pole pohybujícího se bodového náboje, Liénardovy-Wiechertovy potenciály, zobecněný Coulombův zákon, Feynmanova formule.

přednáška 13 - 10. 5.

  • Časově proměnné pole
    Záření
    Záření proměnného elektrického dipólu, distribuční podoba zdroje. Zářivé pole obecných zdrojů, aproximace dalekých polí a pomalých zdrojů, harmonický dipól, Larmorova formule. Zářivé pole bodového náboje, záření v klidové soustavě zdroje. 4-hybnost zářivého pole, transformační vlastnosti, Liénardovo zobecnění Larmorovy formule.

přednáška 14 - 17. 5.

Dodatek k přednášce obsahuje podrobnější zavedení lineární a kruhové polarizace pro monochromatickou vlnu.

  • Časově proměnné pole
    Vlnové řešení.
    Volné Maxwellovy rovnice, vlnové rovnice pro elektrickou intenzitu a magnetickou indukci. Vlna šířící se jedním směrem, profilová funkce a fáze, rychlost šíření. Transverzalita vlny. Hustota energie a toku energie vlny. Monochromatická vlna, komplexní reprezentace. Lineární, kruhová a eliptické polarizace vlny.
    Elektrodynamika bez zdrojů.
    Sférické vlny, operátor momentu, ansatz pro vektorový potenciál v Coulombově kalibraci, Debyeův potenciál, TE a TM pole. Řešení skalární vlnové rovnice, separace proměnných, sférické Besselovy funkce. Řešení vektorové vlnové rovnice, identifikace koeficientů v rozkladu.

M1 M2 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14

Podklady ke cvičení:

Níže jsou uvedeny problémy ke cvičením. Problémů je více, než se reálně stihne na cvičeních projít. Některé problémy se mohou posunout na jiná cvičení a některé se nestihnou vůbec. Doporučuji si problémy projít všechny. V případě nejasností je možné je probrat v rámci konzultací.

Rozdělení problémů u proběhlých cvičení reflektuje průběh cvičení prof. Krtouše. U jiných cvičících se výběr a pořadí problémů může mírně lišit.

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 K+ C+

cvičení 1
cvičení 2
cvičení 3
cvičení 4
cvičení 5
cvičení 6
cvičení 7
cvičení 8
cvičení 9
  • Energie získaná při zkratování sférického kondenzátoru (analogie 9.2)
cvičení 10
cvičení 11
cvičení 12
  • Koaxiální vlnovod
cvičení 13
problémy k látce z jiných přednášek
Tyto problémy se zaměřují na látku, o které se předpokládá, že studenti znají z jiných přednášek. Řešení těchto problémů bude probíhat v rámci konzultací.
problémy navíc
Problémy k probírané látce, které se typicky nestíhají na cvičení. Některé z problémů se můžou řešit během konzultací.
konzultace
Během konzutací se probírají jak témata z předchozích přednášek, tak se vyjasňuje právě probíraná látka či probírá potřebný formalismus. Témata se přizpůsobují dotazům studentů.
  • Gaussův zákon a jeho využití v symetrických situacích.
  • Počítání s nabla operátorem.
  • Greenovy věty
  • Rozvoje a konzistentní zanedbávání členů.
  • Distribuce, význam, značení, delta funkce a její derivace, distribuce 1/x.
  • Bezestopost tenzorů.

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 K+ C+

Materiály k přednáškám:

Studijní text

Přípravy

Přípravy k přednáškám prof. Krtouše:

V přípravách je i materiál, který nebyl letos odpřednášen. Tento materiál je vyznačen svislou tyrkysovou čarou a nebude zkoušen.

Přípravy byly v průběhu kurzu upravovány, opravovány a doplňovány. Při této příležitosti bych chtěl poděkovat J. Dujavovi, absolventovi kurzu z roku 2021, za podrobné přečtení poznámek a upozornění na mnoho chyb a přepisů.

Poslední aktualizace proběhla 26. května. Jednalo se o aktualizaci úvodních stránek s obsahy.

Doplňkové materiály

`Handouty' k předmětu Proseminář z teoretické fyziky (NOFY070):

Proseminář z matematických metod fyziky (NOFY002):

Speciální teorie relativity (NOFY023):

Literatura: