Klasická elektrodynamika

materiály k přednášce

NOFY126

prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D.

LS: 2/2 Z Zk - jaro 2025

Anotace:

Maxwellovy rovnice. Statické a stacionární přiblížení. Časově proměnné pole, elektromagnetické záření. Relativistická formulace. Zákony zachování. Matematické metody řešení.

Přednáška navazující na NOFY018. Přednáška je určena pro druhý ročník bakalářského studia fyziky.

Přednáška v současné akreditaci plně nahrazuje dřívější předmět NOFY026. Pod tímto kódem můžete nalézt informace z minulých let včetně ankety.

Konání kurzu:

Přednáška

Přednáška se koná v pondělí od 10:40 do 12:10 hodin v posluchárně T1 v Tróji.

V letním semestru 2025 vede přednášku prof. Krtouš.

Přednášky probíhají prezenčně formou standardního výkladu na tabuli. Přednášky jsou nahrávany a záznamy budou uveřejňovány na této stránce. Tyto materiály jsou určeny pro zapsané studenty.

Cvičení

Cvičení jsou rozvržena následovně:

Cvičení probíhala prezenčně.

Konzultace

Nad rámec přednášek a cvičení nabízíme studentům společné konzultace. Čas jejich konání se dohodne na cvičeních. Typicky to bude v čase po cvičení.

Na konzultacích se bude opakovat látka, jejíž znalost se předpokládala z jiných přednášek, a procvičovat probíraný materiál podle dotazů a zájmu studentů.

Podmínky pro zápočet a zkoušku:

Zápočet

Zápočet ze cvičení je nutnou podmínkou pro přistoupení ke zkoušce. Podmínkou pro udělení započtu je zisk alespoň 50 bodů.

Během semestru bude možné získat celkem cca 100 bodů určujících nárok na zápočet. Proběhnou dvě písemky (2x33 bodů + bonusy) a budou zadány dva domácí problémy (2x17 bodů + bonusy). První písemka proběhne koncem března, druhá 26. 5. (první den zkouškového období).

Body bude možno získat i v průběhu zkouškového období za řešení doplňkové/opravné písemky. Jako doplňkovou/opravnou písemku lze použít kteroukoli písemku zadávanou jako součást zkoušky. K započítání bodů za doplňkovou/opravnou písemku je potřeba získat alespoň 8 bodů z maxima 33 bodů.

Studentům opakujícím předmět se započte 70% zápočtových bodů z předchozího absolvování předmětu.

Zkouška

Zkouška sestává z písemné a ústní části. Písemná část předchází části ústní a její nesplnění (méně než 8 bodů z maxima 33 bodů) znamená, že celá zkouška je hodnocena známkou nevyhověl(a) a ústní částí se již nepokračuje.

Po úspěšném složení písemné části následuje část ústní. Nesložení ústní části znamená, že při příštím termínu je nutno opakovat obě části zkoušky, písemnou i ústní (vyjma případu, že student splňuje podmínku pro odpuštění písemky – viz dále). Známka ze zkoušky se stanoví na základě hodnocení písemné i ústní části.

Písemná část zkoušky je odpuštěna, pokud student dosáhne 85 bodů.

Povaha kontroly splnění podmínek pro udělení zápočtu vylučuje opakování této kontroly, tedy zápočet lze získat pouze podle pravidel popsaných výše.

Zkoušky:

Podoba zkoušky

Standardní průběh zkoušky zahrnuje písemnou část a navazující ústní část.

Písemná část má stejnou podobu jako zápočtová písemka. Zadání obsahuje 3 příklady, časová dotace bude 90 minut a bude možné získat 33 bodů.

K pokračování v ústní části je potřeba na písemce získat alespoň 7 bodů. Výsledná známka zahrnuje hodnocení jak písemné, tak ústní části.

Při ústní části zkoušky budou zadány 2 otázky a student bude mít cca 30 minut na přípravu. V rámci zkušky bude probírány i problémy z písemky.

Studenti, kteří během semestru získali alespoň 85 bodů nemusejí absolvovat písemnou číst zkoušky. Tito studenti se mohou přihlásit na jakýkoli zkouškový termín. Budou zkoušeni v době konání písemky. Vedle toho jsou pro ně vypsány i speciální termíny bez písemky.

Materiály přípustné na zkoušce

Během zkoušky může student používat tištěné materiály, které lze stáhnout z webu přednášky: handouty ke křivočarým souřadnicím, speciálním funkcím, .... Nejsou povoleny učebnice, knihy, přípravy přednášejícího a vlastní poznámky. Není povoleno využití počítače, mobilu a online materiálů. Práce musí být samostatná, bez jakékoli pomoci další osoby.

Zápočtové problémy a testy:

Zápočtový problém 1

zadání: [pdf]

Termín odevzdání řešení byl 4. dubna 2025.

Zápočtový test 1

První zápočtový test proběhne v pondělí 7. dubna ve 15:00 v posluchárně T1 a v 15:30 v posluchárně T2. Test bude obsahoval tři příklady z elektrostatiky. V obou posluchárnách bude stejný test. Rozdělení mezi dvě posluchárny je čistě z kapacitních důvodů.

Zápočtový test 2

Druhý zápočtový test proběhne v pondělí 26. května v 9:50 v posluchárnách T1 a T2.

Řešení zápočtového problému odevzdávejte prostřednictvím SISu, modulu "Studijní mezivýsledky". Zde můžete řešení nahrát nejlépe ve formátu pdf.

V případě, když se vám nepodaří řešení odevzdat skrze SIS, můžete řešení nouzově poslat emailem na adresu Pavel.Krtous@utf.mff.cuni.cz. V předmětu uveďte: KED DU1 - <jméno>.

Hodnocení a opravená řešení budou zveřejněna v SISu, v modulu "Studijní mezivýsledky".

Předpokládaná látka z jiných přednášek:

V rámci kurzu budeme využívat znalosti z některých předchozích nebo souběžných přednášek. Tyto požadavky se mohou objevit i jako součást zkoušené látky. Zejména se jedná o následující témata:

Proseminár MMF

Proseminář TF, Matematika pro fyziky

Elektřina a magnetismus

Optika

Speciální teorie relativity

Průbežně aktualizovaný sylabus:

Záznamy přednášek:

Průběh přednášek:

Přednášky jsou nahrávané. Záznam přednášek a jejich obsah je k dispozici níže. Mohou se zde objevit ještě různé doplňkové materiály jako obrázky, texty či extra záznamy. Pro stáhnutí přednášky může být potřeba vybrat v kontextovém menu (pravá myš) uložení odkazu.

Vedle standardně přednesených přednášek budou k dispozici ještě dvě pouze zaznamenané přednášky M1 a M2 představující matematický aparát potřebný na přednášce. Tyto přednášky připomínají látku, kterou by studenti měli znát z jiných kurzů. Zavádí se zde zejména formalismus křivočarých souřadnic. Doporučuji shlédnout tyto přednášky během prvních dvou týdnů semestru.

M1 M2 01 02 03 04 05 06 07

přednáška M1

  • Matematický formalismus
    Opakování geometrie.
    Euklidovský prostor, body a vektory, skalární součin, kartézská soustava, ortonormální báze.
    Ortogonální souřadnice.
    Křivočaré souřadnice, vektory tečné k souřadnicovým čarám, ortogonální souřadnice, normalizovaná báze, Lamého koeficienty, vektor posunu podél souřadnicových čar. Integrování podél křivky, plochy a v objemu. Příklady: kartézské, cylindrické a sférické souřadnice. Elipsoidální souřadnice: obecná diskuze, oblé elipsoidální souřadnice, rovnice souřadnicových čar, Lamého koeficienty.
    Vektorové operátory.
    Gradient funkce, Newtonův vzorec, přírůstek funkce, složky gradientu v ortogonálních souřadnicích. Divergence vektorového pole, Gaussova věta, zdroj pole, divergence v ortogonálních souřadnicích. Rotace vektorového pole, Stokesova věta, víry pole, rotace v ortogonálních souřadnicích. Vztahy v křivočarých souřadnicích pouze přehled, bez odvození.

přednáška M2

  • Matematický formalismus
    Vektorové operátory.
    Gradient funkce, Newtonův vzorec, přírůstek funkce, složky gradientu v ortogonálních souřadnicích, gradient souřadnice. Divergence vektorového pole, Gaussova věta, divergence v ortogonálních souřadnicích. Rotace vektorového pole, Stokesova věta, rotace v ortogonálních souřadnicích. Vlastnosti ∇ operátoru. Počítání s ∇ operátorem.
    Operátory 2. řádu.
    Podmínky pro potenciály. Laplaceův operátor funkce, Greenova věta, Laplaceův operátor v ortogonálních souřadnicích. Laplaceův operátor vektorového pole. Vektorová verze Greenovy věty.
    Distribuce ve 3D
    Souřadnicové vyjádření δ-funkcí lokalizovaných v bodě, na křivce a na ploše.

přednáška 1 - 17. 2.

  • Úvod
    Technické záležitosti.
    Obsah přednášky, cvičení, podmínky pro udělení zápočtu, zkouška. Literatura.
    Formulace elektrodynamiky.
    Zdroje, veličiny popisující EM pole, Lorentzova síla, Maxwellovy rovnice, potenciály.
  • Elektrostatika
    Formulace elektrostatiky.
    Zdrojová a potenciálová rovnice, elektrostatická síla, siločáry a trubice toku, Gaussův zákon. Potenciál, integrální definice, nezávislost na cestě integrování, diferenciální vztah, jednoznačnost potenciálu, Poincarého lema. Poissonova rovnice, Laplaceova rovnice, harmonické funkce. Coulombův zákon, sféricky symetrické zdroje.
    Singulární zdroje.
    Regulární a singulární zdroje: plošné, lineární a bodovové rozložení náboje. Podmínky navázání pro plošný zdroj. Objemová hustota singulárních zdrojů.

přednáška 2 - 24. 2.

  • Matematický formalismus
    Základy teorie distribucí.
    Distribuce – zobecnění funkcí. δ-funkce v 1D, motivace, definice, derivace distribucí, derivace skokové funkce, derivace δ-funkce. Substituce v δ-funkci v 1D.
    Distribuce ve 3D
    δ-funkce lokalizovaná v bodě, na křivce a na ploše. Distribuční gradient charakteristické funkce oblasti. Distribuční odvození podmínek navázání v přítomnosti plošného náboje.
  • Elektrostatika
    Formulace elektrostatiky.
    Coulombické řešení Poissonový úlohy, metoda fiktivních nábojů.
    Vodiče.
    Ideální vodič, indukovaný náboj a pole, podmínky pro potenciál a intenzitu uvnitř a na hranici vodiče. Vkládání vodiče do pole. Pole u uzemněné vodivé sféry.

přednáška 3 - 3. 3.

  • Elektrostatika
    Laplaceův operátor.
    Laplaceův operátor, prostor funkcí na oblasti, okrajové podmínky. Symetrie a positivita Lapalceova operátoru. Harmoniky, věta o střední hodnotě, věta o minimu a maximu, jednoznačnost Poissonovy úlohy.
    Greenovy funkce.
    Greenova funkce Laplaceova operátoru, řešení Poissonovy úlohy. Greenova funkce v celém prostoru. Dirichletova Greenova funkce na oblasti. Poissonova a Laplaceova úloha se zadaným potenciálem na hranici.
    Vodiče.
    Pole nabitého elipsoidu, nábojová hustota na elipsoidu, limita tenkého disku, nábojová hustota na disku.

přednáška 4 - 10. 3.

  • Elektrostatika
    Greenovy funkce.
    Greenova reciprocita.
    Vodiče.
    Síla na vodič, rozklad na vlastní a vnější pole.
    Kapacity.
    Systém nabitých vodičů, linearita vztahu potenciálů a nábojů, matice kapacity a její vlastnosti. Matice kapacity pomocí Greenovy funkce. Speciální situace: jeden vodič, obecný kondenzátor, dva vodiče. Vodiče v dutině, matice kapacity pro napětí, stínění, vztah k celkové matici kapacity.
  • Zákony zachování
    Energie v elektrostatice.
    Elektrostatický potenciál a potenciální energie. Interakční energie nábojů. Energie elektrostatického systému, vyjádření pomocí potenciálu a intenzity, lokalizace energie, positivita energie. Energie nabité koule, divergentní charakter energie bodového náboje, vztah celkové a interakční energie. Energie systému vodičů.

přednáška 5 - 17. 3.

  • Elektrostatika – pokročilé metody
    Rozklad do systému funkcí.
    Báze v prostoru funkcí. Prostor řešení Laplaceovy úlohy, vlastní funkce operátoru, systémy vlastních funkcí, ortonormalita a úplnost, komplexní funkce. Příklad v 1D - Fourierova transformace na intervalu a reálné ose.
    Rozklad Greenovy funkce.
    Funkce operátoru, vyjádření v bázi vlastních funkcí, integrální jádro Laplaceova operátoru, Greenovy funkce a δ-funkce.
    Metoda separace proměnných.
    Separace proměnných, multiplikaticní separabilní ansatz, separační konstanty. Separace v kartézských souřadnicích. Laplaceova úloha v kvádru, nenulový potenciál na jedné stěně, výběr funkcí, koeficienty v rozvoji jako Fourierova transformace potenciálu na okraji. Separace ve sférických souřadnicích, separace radiální a úhlových souřadnic, radiální závislost, separace úhlových proměnných, zobecněná Legendreova rovnice, kulové funkce.

přednáška 6 - 24. 3.

  • záznam: [mp4 511MB] (98min)
    Záznam v závěru obsahuje i desetiminutovou pasáž o multipólovém rozvoji pro axiálně symetrické pole, která se nestihla na samotné přednášce. Tento materiál je součastí zkoušeného sylabu.
  • Elektrostatika – pokročilé metody
    Multipólový rozvoj.
    Monopól. Dipól, potenciál, intenzita, nábojová hustota. Síla na dipól ve vnějším poli. Vzdálené pole nábojů, monopól, dipól, kvadrupól. Nábojové momenty, tenzorové multipóly, příklady. Rozvoj do Legendreových polynomů a kulových funkcí, sférické multipóly. Relace ortogonality a úplnosti kulových funkcí. Axiálně symetrická situace, rozvoj potenciálu podle osy.

přednáška 7 - 29. 3.

  • Magnetostatika
    Formulace magnetostatiky.
    Rovnice magnetostatiky, Lorentzova síla. Magnetická indukce, indukční čáry, magnetický tok, Ampérův zákon, bezdivergentní charakter čar. Vektorový potenciál, podmínka existence, nejednoznačnost potenciálu, kalibrační volnost, kalibrační podmínka. Poissonova úloha pro vektorový potenciál, řešení. Biotův-Savartův zákon.
    Tok náboje.
    Hustota toku a proud, zákon zachování, konvekční proud. Stacionární situace. Singulární zdroje - plošní proudy a tenké vodiče. Rozložení proudů ve vodičích, ohmické vodiče, Ohmův zákon. Elektrické pole stacionárních proudů ve vodičích, podmínky na rozhraní.

M1 M2 01 02 03 04 05 06 07

Podklady ke cvičení:

Níže jsou uvedeny problémy ke cvičením. Problémů je více, než se reálně stihne na cvičeních projít. Některé problémy se mohou posunout na jiná cvičení a některé se nestihnou vůbec. Doporučuji si problémy projít všechny. V případě nejasností je možné je probrat v rámci konzultací.

Rozdělení problémů u proběhlých cvičení reflektuje průběh cvičení prof. Krtouše. U jiných cvičících se výběr a pořadí problémů může mírně lišit.

U některých problémů byly přidány poznámky k řešení. Jedná se většinou o ručně psaný nástin řešení. Tyto řešení by neměla nahrazovat samotná cvičení. V případě nejasností, proberte je s cvičícími na cvičení či konzultaci.

01 02 03 04 05 06 07 08 K+ C+

cvičení 1
cvičení 2
cvičení 3
cvičení 4
cvičení 5
cvičení 6
cvičení 7
cvičení 8
problémy k látce z jiných přednášek
Tyto problémy se zaměřují na látku, o které se předpokládá, že studenti znají z jiných přednášek. Řešení těchto problémů bude probíhat v rámci konzultací.
problémy navíc
Problémy k probírané látce, které se typicky nestíhají na cvičení. Některé z problémů se můžou řešit během konzultací.
konzultace
Během konzutací se probírají jak témata z předchozích přednášek, tak se vyjasňuje právě probíraná látka či probírá potřebný formalismus. Témata se přizpůsobují dotazům studentů.
  • Gaussův zákon a jeho využití v symetrických situacích.
  • Počítání s nabla operátorem.
  • Greenovy věty
  • Rozvoje a konzistentní zanedbávání členů.
  • Distribuce, význam, značení, delta funkce a její derivace, distribuce 1/x.
  • Bezestopost tenzorů.

01 02 03 04 05 06 07 08 K+ C+

Materiály k přednáškám:

Studijní text

Přípravy

Přípravy k přednáškám prof. Krtouše:

V přípravách je i materiál, který se nestihl odpřednášet. Tento materiál je vyznačen svislou tyrkysovou čarou a nebude zkoušen.

Přípravy jsou v průběhu kurzu upravovány, opravovány a doplňovány. Průběžné aktualizace budou vyznačeny.

Při této příležitosti bych chtěl poděkovat J. Dujavovi, absolventovi kurzu z roku 2021, za podrobné přečtení poznámek a upozornění na mnoho chyb a přepisů.

Doplňkové materiály

`Handouty' k předmětu Proseminář z teoretické fyziky (NOFY070):

Proseminář z matematických metod fyziky (NOFY002):

Speciální teorie relativity (NOFY023):

Literatura: