Riemannova hypotéza odolává snahám nejlepších matematiků o její důkaz či vyvrácení už více než 160 let. Tento svatý grál matematiky je jedním ze sedmi takzvaných Problémů milénia, které v roce 2000 byly zformulovány v americkém Clayově matematickém institutu s cílem pojmenovat nejdůležitější výzvy matematiky přelomu tisíciletí. Zdánlivě abstraktní tvrzení o tom, jak by měly být rozloženy kořeny jedné z matematických funkcí, má překvapivé důsledky nejen pro teorii prvočísel, jejich rozložení a odhad jejich počtu, ale zasahuje také do moderních oblastí současné algebry a dokonce i kvantové fyziky. V přednášce se dotkneme všech těchto aspektů Riemannova problému i toho, jak to všechno souvisí se šifrováním, kódováním a internetovou bezpečností, a jaké důsledky pro ni by mohlo vyřešení Riemannovy záhady přinést.
Záznam přednášky na kanálu LLionTV na YouTube.
Nejstarší řecká filosofie a přírodověda; společný vznik filosofie, fyziky, astronomie, meteorologie, matematiky, geologie a biologie. Místo souhrnu nauk jen tyto problémy: působení na dálku, geometrizace světa, měření, cykličnost dějů, bipolárnost sil, objev hlubokého času, skepse, racionalita a empirie, matematizace popisu jevů, infinitezimalita, atomy a prázdno. Pokrok poznání a jeho limitace.
Záznam přednášky na kanálu LLionTV na YouTube.
Immanuel Kant (1724-1804), jeden z největších filosofů všech dob, působil v době, kdy bylo třeba filosofii znovu vynalézt, neboť byla - poprvé v dějinách - konfrontována s úspěšnou, rychle vpřed kráčející přírodovědou. Podařilo se mu to díky programu transcendentalismu, tj. studia podmínek možnosti výkonů, které lidská mysl de facto provádí (poznávání, morálního souzení apod.). Zaměříme se na Kantovu teorii poznání a její vztah k matematice a fyzice, jak jsou vyloženy v Kritice čistého rozumu (1781).
Záznam přednášky na kanálu LLionTV na YouTube.
Logika původně, ve starověku, vnikla z úsilí hledání kritérií správnosti úsudků. Úsudky, o které šlo, byly formulovány v přirozeném jazyce (jak taky jinak). Na konci devatenáctého století a v první polovině dvacátého ale dochází k zásadní změně: zájem logiků se přesouvá od přirozených jazyků k různým umělým jazykům, které logici začínají vytvářet. Tato změna je často chápána jenom jako vyjasnění předmětu logiky a vybroušení jejích nástrojů. Ve skutečnosti s sebou ale nese tak zásadní změny předmětu logiky, že je smysl a funkce moderní logiky třeba zcela znova promýšlet. Je studium umělých jazyků logiky (které je obvykle vedeno prostředky matematiky) studiem správnosti faktických lidských úsudků? Nebo je spíše studiem modelů, které nám mohou pomoci studovat faktické úsudky jenom natolik, nakolik jsou modely adekvátními? A může nám logika vůbec pomoci nějak lépe usuzovat, či dokonce "vypočítat", jaký úsudek je správný a jaký ne?
Záznam přednášky na kanálu LLionTV na YouTube.
V přednášce se pokusím představit výklad procesu matematizace pohybu v díle Galilea, Descarta a Newtona. Pojem matematizace rozdělím do tří etap redukce: redukce fenoménů na fyzikální veličiny, redukce ontologie na geometrická tělesa obdařená pohybem a redukci působení na akce sil působících na dálku. Smyslem každé z těchto tří druhů redukce je umožnit odpovídající druh syntézy.
Fenomenální redukce má smysl v tom, že umožňuje relační syntézu. Tím, určitý jev, například čas nahradíme "údajem na hodinkách" jak to vtipně vyjádřil Feynman, stává se možným dát dráhu do souvisu se čtvercem času. Ale co je to čtvercová sekunda, nebo čtvercová hodina? Fenomenálně takové nedává smysl, ale jazyk matematiky umožňuje korelovat dráhu volného pádu právě se čtvercem času, čímž ukazuje význam relační syntézy.
Podobně ontologická redukce umožňuje vznik skladební syntézy. Od antiky až po Galilea se pohyb opisoval jako pohyb jednoho izolovaného tělesa. Nebylo jasné, jak lze uchopit pohyb fyzikálního systému jako celku. Až ontologická redukce umožňuje zavést tzv. skladební syntézu, tedy reprezentovat stav fyzikálního systému jako celku a opisovat jeho pohyb jako změnu stavu. A konečně redukce kauzálního působení na sily umožňuje vznik deduktivní syntézy, tedy propojení stavů systému v různých časových okamžicích pomocí pohybové rovnice do jednotného fázového toku.
Tezí, kterou se pokusím na přednášce obhájit bude, že matematizace pohybu spočívá ve vytvoření matematického jazyka, který umožňuje tyto tři druhy syntézy, tedy relační, skladební a deduktivní. Teda ve vědecké revoluci nešlo o geometrizaci kosmu, jak to tvrdil Koyré a po něm opakovalo mnoho učenců ale o matematizaci pohybu, tedy o zasazení pohybu do rámce s relační, skladební a deduktivní syntézou.
Záznam přednášky na kanálu LLionTV na YouTube.
V roce 1931 Kurt Gödel dokázal, že pro každý formální systém, který je konsistentní, existuje pravdivé tvrzení, které není v tomto sytému dokazatelné. Tato nedokazatelná tvrzení nejsou o nekonečných množinách, ale týkají se základní matematické struktury - přirozených čísel. Jeho představa, jak se s neúplnosti vypořádat, byla založená na představě, že budeme postupně přidávat stále silnější axiomy o množinách. Tento program zaznamenal částečné úspěchy, ale problém v principu nemůže vyřešit.
V šedesátých letech minulého století se v souvislosti s počítači začala rozvíjet teorie výpočetní složitosti. Některé základní problémy formulované v sedmdesátých letech jsou dosud nevyřešené a nikdo neočekává, že se vyřeší v blízké budoucnosti. S tím souvisí otázka, jak je to s dokazatelností těchto problémů v teoriích, které studujeme v základech matematiky. Není to náhodou nějaký nový typ neúplnosti?
V závěru přednášky bych se chtěl spíše ptát, než dávat odpovědi na otázky, zda a jak neúplnost v matematice může souviset se základy fyziky.
Záznam přednášky na kanálu LLionTV na YouTube.
“Filosofové se téměř nezabývali myšlenkou nicoty. A přesto je často skrytou pohnutkou, neviditelným hybným principem filosofického myšlení.” Tímto tvrzením z knihy Vývoj tvořivý (1907) zahajuje Henri Bergson svůj výklad o pojmu nicoty. V přednášce se opřeme o vybraná filosofická pojednání o nicotě, která jsou dodnes určující (Platón, Bergson, Carnap, existencialisté). Problém nicoty se v nich zpřesňuje do otázek ontologie (“Jak se k sobě má jsoucno, bytí a nebytí?”), teorie řeči (např. “Jakou formu mají negativní existenční soudy?”) či etiky (“Je nicota ohrožením hodnotových hierarchií?”).
Záznam přednášky na kanálu LLionTV na YouTube.