NOFY076 - Kvantová teorie I

Přednášku alternují Martin Čížek a Pavel Cejnar. Letos přednáší Martin Čížek (Út 13:10-14:40 a Čt 14:50-16:20 vždy v posluchárně T1). Cvičení alternují Martin Čížek a Jakub Benda (St a Čt vždy 13:10-14:40 v posluchárně T8).

Aktuální informace:

17.2.2023: Vypsal jsem ještě v semestru dvě zkoušky na Pá 10.3. a na St 12.4. Patrně vypíšu ještě nějaký termín začátkem května společně s předtermínem na kvantovou teorii II a také v letním zkouškovém období, ale samozřejmě nedoporučuji to takto odkládat.

16.1.2023: Zveřejnil jsem vzorové řešení zápočtové písemky. Můžete jej použít (spolu s materiály na cvičení z tabulky níže) jako studijní materiál k praktické početní části zkoušky. Kdybyste zaregistrovali nějaký závžnější překlep, dejte mi prosím vědět ať to opravím.

12.1.2023: Tak jsem opravil vše co se mi dostalo. Výsledky jsou zde. Jak vidíte trochu jsem zmírnil podmínky na bonusy, takže se 13 studentů kvalifikovalo na zkoušku bez počítání a 6 získalo zvláštní bonus (fyzikální hračku). Detaily hodnocení písemky jsou v extra tabulce jsou zde. Ještě dodám vzorové řešení. Chybí mi ještě kousek dopsat v LaTeXu.

Domácí úkoly:

Materiály ke cvičení:

Následující tabulka odkazuje linky na zadání úloh řešených na cvičení a na dotatečné materiály a úlohy k řešení.

Vysvětlení zkratek: DU.yyyy.n (domácí úkol číslo n z roku yyyy), Pis.yyyy.n (úloha n ze zápočtové písemky z roku yyyy), COVz (zadání úloh z covidového roku), COVr (vzorové řešení úloh z covidového roku).

Materiály k přednášce:

Sylabus přednášky:

1. Úvodní poznámky:
   • Základní aspekty kvantového chování: diskrétní charakter, interference a difrakce, statistických charakter, vliv měření na stav.
   • Modelové příklady: Stern-Gerlachův experiment a spin. Interference na štěrbině. Kvantové tečky.
   [Poznamky1, [4] kapitola Introduction]
   
   
2. Formalismus kvantové teorie I: (systémy s konečnou bází)
   • Opakování lineární algebry: LVP, skalární součin, lineární funkcionály a Diracova notace, operátory, projektory, spektrální rozklad, reprezentace vektorů a operátorů v bázi.
   • Základní principy kvantové teorie:
   • Příklad částice se spinem 1/2:
   • Přechod k jiné bázi:
   • Nekompatibilní pozorovatelné. Kompatibilní pozorovatelné a jejich vlastnosti, společná báze vlastních vektorů, úplný systém komutujíchích operátorů.
   • Skládání systémů.
   • Unitární čásový vývoj.
   [Poznamky2, Poznamky3, Poznamky4 ]
   
   
3. Formalismus kvantové teorie II: (spojité a nekonečně rozlehlé systémy)
   • Úvod, příklady nekonečných systémů: řetízek a bezstrukturní částice v 1D.
   • Úvod do pokročilých matematických metod kvantové teorie: Hilbertův prostor, testovací funkce a distribuce, Rieszova věta o reprezentaci.
   • Lineární operátory, definiční obor a obor hodnot, omezený operátor, samosdružený operátor.
   • Bodové (diskrétní) a spojité spektrum. Spektrální rozklad. Zobecněné vlastní funkce.
   • Základní principy kvantové teorie, shrnutí pro případ spojitého spektra.
   • Příklady.
   [Poznamky5, Poznamky6 ]
   
   
4. Bezstrukturní částice v 1D:
   • Hilbertův prostor, operátor X jako ÚSKO, operátor P jako ÚSKO, přechod mezi p a x reprezentací. Báze a normalizace k deltafunkci.
   • Stacionární stavy pro volnou částici. H₀ a směr pohybu jako ÚSKO a H₀ a parita jako ÚSKO. Energetická normalizace.
   • Částice v pontenciálu. Řešení pro konstantní a lineární potenciál.
   • Lineární harmonický oscilátor (LHO). Algebraické řešení a řešení v x- a p- reprezentaci. Stacionární stavy LHO jako báze. X a P operátory jako matice.
   • Obecné vlastnosti stacionárních stavů v potenciálu. Diskrétní a spojité spektrum. Normalizace.
   [Poznamky7 ]
   
   
5. Bezstrukturní částice ve 3D a moment hybnosti:
   • Operátory X,Y,Z jako ÚSKO, souřadnicová reprezentace, přechod mezi p a x reprezentací. Báze a normalizace k deltafunkci.
   • Stacionární stavy pro volnou částici. H₀ a směr pohybu jako ÚSKO a H₀. Energetická normalizace.
   • Operátor orbitálního momentu hybnosti.
   • Obecná kvantová teorie momentu hybnosti. Spinový a orbitální moment hybnosti, sférické harmoniky.
   • Vlastní stavy volné částice s daným momentem hybnosti v p a x reprezentaci.
   • Částice ve sféricky symetrickém potenciálu. Obecná formulace.
   • Řešení pro po částech konstantní potenciál, Coulombův problém a izotropický harmonický oscilátor.
   • Obecné poznámky o separaci proměnných a symetriích v kvantové mechanice. Separace těžišťových a relativních stupňů volnosti pro dvě částice.
   • Částice v magnetickém poli. Hamiltonián, hybnost a rychlost. Pauliho rovnice.
   • Výměnná symetrie, identické a nerozlišitelné částice.
   [Poznámky8 ]
   
   
6. Kvantová teorie skládání momentu hybnosti:
   • Momenty hybnosti na podprostorech a celkový moment hybnosti.
   • Seprarovaná a kaplovaná báze. Matice přechodu - Clebsch-Gordanovy koeficienty a jejich nalezení.
   • Vlastnosti CG-koeficientů: trojůhelníková nerovnost, ortogonalita, symetrie, rekurentní relace.
   • Skládání tří momentů hybnosti.
   [Poznamky ]
   
   
7. Vybrané přibližné metody pro spektrum hamiltoniánu:
   • Principy stacionární poruchové teorie..
   • Korekce energie a vlnové funkce. Případ nedegenerovaných a degenerovaných hladin.
   • Příklady použití poruchové teorie. [Poznamky]
   • Funkcionál energie a jeho použití k nalezení spektra hamiltoniánu.
   • Hyleraasova-Undhaimova věta. [Poznamky]
   • Atom helia - aplikace poruchové teorie a variačního principu na systém dvou elektronů.
   [Poznamky]
   
   
8. Dodatečné poznámky:
   • Gausovský balík a pohyb gausovského balíku.
   • Časový vývoj v Heisenbergově obraze. Aplikace na lineární harmonický oscilátor a volnou částici.
   [Poznamky]
   
   

Doporučená literatura: