NOFY076 - Kvantová teorie I

Přednášku alternují Martin Čížek a Pavel Cejnar. Letos přednáší Martin Čížek (Út 12:20-13:50 a Čt 15:40-17:10 vždy v posluchárně T2). Cvičení alternují Martin Čížek a Jakub Benda (Po 15:40-17:10 T8, Ut 14:00-15:30 T9, St 10:40-12:10 A945).

Aktuální informace:

16.12.2024: Připomínám, že ve čtvrtek na přednášce jsme se dohodli, že zápočtová písemka proběhne místo přednášky ve čtvrtek 19. prosince. Bude to 5 příkladů po 10 bodech a za polovinu získaných bodů (a všechny odevzdané a více-méně vyřešené DU) odpouštím počítání u zkoušky. Alternativně je možné si zadání písemky stáhnout ve čtvrtek z této stránky a odevzdat do 24 hodin. Získané body připočtu na zápočet, ale budu vyžadovat vyřešení jedné úlohy u zkoušky.

8.12.2024: Jakub Benda vymyslel pěknou poslední domácí úlohu. Nelekněte se dlouhého úvodu, všechno byste měli zvládnout po absolvování cvičení na skládání momentu hybnosti s použitím nápovědy.

Pro referenci starší stránky: Přednáška 2020, cvičení 2020, Přednáška a cvičení 2022.

Domácí úkoly:

Materiály ke cvičení:

Následující tabulka odkazuje linky na zadání úloh řešených na cvičení a na dotatečné materiály a úlohy k řešení.

Vysvětlení zkratek: DU.yyyy.n (domácí úkol číslo n z roku yyyy), Pis.yyyy.n (úloha n ze zápočtové písemky z roku yyyy), COVz (zadání úloh z covidového roku), COVr (vzorové řešení úloh z covidového roku).

VŠECHNY PÍSEMKY: 2010, 2012, 2014, 2016, 2018, 2020, 2022.

VŠECHNY DOMÁCÍ ÚKOLY: 2010( DU1, DU2, DU3, DU4, DU5) 2012( DU1, DU2, DU3, DU4, DU5) 2014( DU1, DU2, DU3, DU4, DU5) 2016( DU1, DU2, DU3, DU4, DU5) 2018( DU1, DU2, DU3, DU4, DU5) 2020( DU1, DU2, DU3, DU4, DU5, ) 2022( DU1, DU2, DU3, DU4, DU5, )

Materiály k přednášce:

Sylabus přednášky:

1. Úvodní poznámky:
   • Základní aspekty kvantového chování: diskrétní charakter, interference a difrakce, statistických charakter, vliv měření na stav.
   • Modelové příklady: Stern-Gerlachův experiment a spin. Interference na štěrbině. Kvantové tečky.
   [Poznamky1, [4] kapitola Introduction]
   
   
2. Formalismus kvantové teorie I: (systémy s konečnou bází)
   • Opakování lineární algebry: LVP, skalární součin, lineární funkcionály a Diracova notace, operátory, projektory, spektrální rozklad, reprezentace vektorů a operátorů v bázi.
   • Základní principy kvantové teorie:
   • Příklad částice se spinem 1/2:
   • Přechod k jiné bázi:
   • Nekompatibilní pozorovatelné. Kompatibilní pozorovatelné a jejich vlastnosti, společná báze vlastních vektorů, úplný systém komutujíchích operátorů.
   • Skládání systémů.
   • Unitární čásový vývoj.
   [Poznamky2, Poznamky3, Poznamky4 ]
   
   
3. Formalismus kvantové teorie II: (spojité a nekonečně rozlehlé systémy)
   • Úvod, příklady nekonečných systémů: řetízek a bezstrukturní částice v 1D.
   • Úvod do pokročilých matematických metod kvantové teorie: Hilbertův prostor, testovací funkce a distribuce, Rieszova věta o reprezentaci.
   • Lineární operátory, definiční obor a obor hodnot, omezený operátor, samosdružený operátor.
   • Bodové (diskrétní) a spojité spektrum. Spektrální rozklad. Zobecněné vlastní funkce.
   • Základní principy kvantové teorie, shrnutí pro případ spojitého spektra.
   • Příklady.
   [Poznamky5, Poznamky6 ]
   
   
4. Bezstrukturní částice v 1D:
   • Hilbertův prostor, operátor X jako ÚSKO, operátor P jako ÚSKO, přechod mezi p a x reprezentací. Báze a normalizace k deltafunkci.
   • Stacionární stavy pro volnou částici. H₀ a směr pohybu jako ÚSKO a H₀ a parita jako ÚSKO. Energetická normalizace.
   • Částice v pontenciálu. Řešení pro konstantní a lineární potenciál.
   • Lineární harmonický oscilátor (LHO). Algebraické řešení a řešení v x- a p- reprezentaci. Stacionární stavy LHO jako báze. X a P operátory jako matice.
   • Obecné vlastnosti stacionárních stavů v potenciálu. Diskrétní a spojité spektrum. Normalizace.
   [Poznamky7 ]
   
   
5. Bezstrukturní částice ve 3D a moment hybnosti:
   • Operátory X,Y,Z jako ÚSKO, souřadnicová reprezentace, přechod mezi p a x reprezentací. Báze a normalizace k deltafunkci.
   • Stacionární stavy pro volnou částici. H₀ a směr pohybu jako ÚSKO a H₀. Energetická normalizace.
   • Operátor orbitálního momentu hybnosti.
   • Obecná kvantová teorie momentu hybnosti. Spinový a orbitální moment hybnosti, sférické harmoniky.
   • Vlastní stavy volné částice s daným momentem hybnosti v p a x reprezentaci.
   • Částice ve sféricky symetrickém potenciálu. Obecná formulace.
   • Řešení pro po částech konstantní potenciál, Coulombův problém a izotropický harmonický oscilátor.
   • Obecné poznámky o separaci proměnných a symetriích v kvantové mechanice. Separace těžišťových a relativních stupňů volnosti pro dvě částice.
   • Částice v magnetickém poli. Hamiltonián, hybnost a rychlost. Pauliho rovnice.
   • Výměnná symetrie, identické a nerozlišitelné částice.
   [Poznámky8 ]
   
   
6. Kvantová teorie skládání momentu hybnosti:
   • Momenty hybnosti na podprostorech a celkový moment hybnosti.
   • Seprarovaná a kaplovaná báze. Matice přechodu - Clebsch-Gordanovy koeficienty a jejich nalezení.
   • Vlastnosti CG-koeficientů: trojůhelníková nerovnost, ortogonalita, symetrie, rekurentní relace.
   • Skládání tří momentů hybnosti.
   [Poznamky ]
   
   
7. Vybrané přibližné metody pro spektrum hamiltoniánu:
   • Principy stacionární poruchové teorie..
   • Korekce energie a vlnové funkce. Případ nedegenerovaných a degenerovaných hladin.
   • Příklady použití poruchové teorie. [Poznamky]
   • Funkcionál energie a jeho použití k nalezení spektra hamiltoniánu.
   • Hyleraasova-Undhaimova věta. [Poznamky]
   • Atom helia - aplikace poruchové teorie a variačního principu na systém dvou elektronů.
   [Poznamky]
   
   
8. Dodatečné poznámky:
   • Gausovský balík a pohyb gausovského balíku.
   • Časový vývoj v Heisenbergově obraze. Aplikace na lineární harmonický oscilátor a volnou částici.
   [Poznamky]
   
   

Doporučená literatura: