NOFY076 - Kvantová teorie I

Přednášku alternují Martin Čížek a Pavel Cejnar. Letos přednáší Martin Čížek (Út 12:20-13:50 a Čt 15:40-17:10 vždy v posluchárně T2). Cvičení alternují Martin Čížek a Jakub Benda (Po 15:40-17:10 T8, Ut 14:00-15:30 T9, St 10:40-12:10 A945).

Aktuální informace:

11.11.2024: V SISu by již měly být všechny opravené DU1. Na opravě DU2 pracuje kolega Benda. Přidal jsem zadání třetího DU, termín odevzdání do 24. listopadu. Zadání. Při řešení se rovněž lze inspirovat v nápovědách ze zadání z roku 2022.

24.10.2024: Přidal jsem zadání druhého DU, termín odevzdání do 7. listopadu. Zadání. Také jsem aktualizoval tabulky cvičení.

11.10.2024: Preklápím stránku do nového roku. Zadání prvního domácího úkolu, je zatím zde.

Pro referenci starší stránky: Přednáška 2020, cvičení 2020, Přednáška a cvičení 2022.

Domácí úkoly:

Materiály ke cvičení:

Následující tabulka odkazuje linky na zadání úloh řešených na cvičení a na dotatečné materiály a úlohy k řešení.

Vysvětlení zkratek: DU.yyyy.n (domácí úkol číslo n z roku yyyy), Pis.yyyy.n (úloha n ze zápočtové písemky z roku yyyy), COVz (zadání úloh z covidového roku), COVr (vzorové řešení úloh z covidového roku).

Materiály k přednášce:

Sylabus přednášky:

1. Úvodní poznámky:
   • Základní aspekty kvantového chování: diskrétní charakter, interference a difrakce, statistických charakter, vliv měření na stav.
   • Modelové příklady: Stern-Gerlachův experiment a spin. Interference na štěrbině. Kvantové tečky.
   [Poznamky1, [4] kapitola Introduction]
   
   
2. Formalismus kvantové teorie I: (systémy s konečnou bází)
   • Opakování lineární algebry: LVP, skalární součin, lineární funkcionály a Diracova notace, operátory, projektory, spektrální rozklad, reprezentace vektorů a operátorů v bázi.
   • Základní principy kvantové teorie:
   • Příklad částice se spinem 1/2:
   • Přechod k jiné bázi:
   • Nekompatibilní pozorovatelné. Kompatibilní pozorovatelné a jejich vlastnosti, společná báze vlastních vektorů, úplný systém komutujíchích operátorů.
   • Skládání systémů.
   • Unitární čásový vývoj.
   [Poznamky2, Poznamky3, Poznamky4 ]
   
   
3. Formalismus kvantové teorie II: (spojité a nekonečně rozlehlé systémy)
   • Úvod, příklady nekonečných systémů: řetízek a bezstrukturní částice v 1D.
   • Úvod do pokročilých matematických metod kvantové teorie: Hilbertův prostor, testovací funkce a distribuce, Rieszova věta o reprezentaci.
   • Lineární operátory, definiční obor a obor hodnot, omezený operátor, samosdružený operátor.
   • Bodové (diskrétní) a spojité spektrum. Spektrální rozklad. Zobecněné vlastní funkce.
   • Základní principy kvantové teorie, shrnutí pro případ spojitého spektra.
   • Příklady.
   [Poznamky5, Poznamky6 ]
   
   
4. Bezstrukturní částice v 1D:
   • Hilbertův prostor, operátor X jako ÚSKO, operátor P jako ÚSKO, přechod mezi p a x reprezentací. Báze a normalizace k deltafunkci.
   • Stacionární stavy pro volnou částici. H₀ a směr pohybu jako ÚSKO a H₀ a parita jako ÚSKO. Energetická normalizace.
   • Částice v pontenciálu. Řešení pro konstantní a lineární potenciál.
   • Lineární harmonický oscilátor (LHO). Algebraické řešení a řešení v x- a p- reprezentaci. Stacionární stavy LHO jako báze. X a P operátory jako matice.
   • Obecné vlastnosti stacionárních stavů v potenciálu. Diskrétní a spojité spektrum. Normalizace.
   [Poznamky7 ]
   
   
5. Bezstrukturní částice ve 3D a moment hybnosti:
   • Operátory X,Y,Z jako ÚSKO, souřadnicová reprezentace, přechod mezi p a x reprezentací. Báze a normalizace k deltafunkci.
   • Stacionární stavy pro volnou částici. H₀ a směr pohybu jako ÚSKO a H₀. Energetická normalizace.
   • Operátor orbitálního momentu hybnosti.
   • Obecná kvantová teorie momentu hybnosti. Spinový a orbitální moment hybnosti, sférické harmoniky.
   • Vlastní stavy volné částice s daným momentem hybnosti v p a x reprezentaci.
   • Částice ve sféricky symetrickém potenciálu. Obecná formulace.
   • Řešení pro po částech konstantní potenciál, Coulombův problém a izotropický harmonický oscilátor.
   • Obecné poznámky o separaci proměnných a symetriích v kvantové mechanice. Separace těžišťových a relativních stupňů volnosti pro dvě částice.
   • Částice v magnetickém poli. Hamiltonián, hybnost a rychlost. Pauliho rovnice.
   • Výměnná symetrie, identické a nerozlišitelné částice.
   [Poznámky8 ]
   
   
6. Kvantová teorie skládání momentu hybnosti:
   • Momenty hybnosti na podprostorech a celkový moment hybnosti.
   • Seprarovaná a kaplovaná báze. Matice přechodu - Clebsch-Gordanovy koeficienty a jejich nalezení.
   • Vlastnosti CG-koeficientů: trojůhelníková nerovnost, ortogonalita, symetrie, rekurentní relace.
   • Skládání tří momentů hybnosti.
   [Poznamky ]
   
   
7. Vybrané přibližné metody pro spektrum hamiltoniánu:
   • Principy stacionární poruchové teorie..
   • Korekce energie a vlnové funkce. Případ nedegenerovaných a degenerovaných hladin.
   • Příklady použití poruchové teorie. [Poznamky]
   • Funkcionál energie a jeho použití k nalezení spektra hamiltoniánu.
   • Hyleraasova-Undhaimova věta. [Poznamky]
   • Atom helia - aplikace poruchové teorie a variačního principu na systém dvou elektronů.
   [Poznamky]
   
   
8. Dodatečné poznámky:
   • Gausovský balík a pohyb gausovského balíku.
   • Časový vývoj v Heisenbergově obraze. Aplikace na lineární harmonický oscilátor a volnou částici.
   [Poznamky]
   
   

Doporučená literatura: